Euler und de Moivre: (a) f(x) = (sin(x))3 (cos(2x))2 als Linearkombination schreiben.

Question

kann mir jemand diese aufgabe lösen danke

hallo ich bin der thomas und komm bei der aufgabe überhaupt nicht weiter kann mir jemand helfen  danke

Formel von Euler und de Moivre

(a) Schreiben Sie \( f(x)=(\sin (x))^{3}(\cos (2 x))^{2} \) als Linearkombination von Funktionen der Form \( \sin (m x) \) und \( \cos (n x), \) mit \( m, n \in \mathbb{N}_{0} \)
(b) Leiten Sie die folgende Formel her.
$$ \sum \limits_{k=0}^{n-1} \cos (2 \pi k / n)=0 $$
Hinweis: Nach Verwendung der Formel von Euler und de Moivre stöft man auf geometrische Summen.

Comments

Hier hilft es, sich zunächst die Formeln von Euler und de Moivre zu vergegenwärtigen.

Answer 1

a)

Es gilt: 
SIN(x) = (e^i·x - e^{- i·x}) / (2·i) 
COS(x) = (e^i·x + e^{- i·x}) / 2

SIN(x)³·COS(2·x)²

= ((e^i·x - e^{- i·x}) / (2·i))³ · ((e^i·2·x + e^{- i·2·x}) / 2)²

= (- e^3·i·x/(8·i) + 3·e^i·x/(8·i) - 3·e^{- i·x}/(8·i) + e^{- 3·i·x}/(8·i)) * (e^2·i·2·x/4 + e^{- 2·i·2·x}/4 + 1/2)

= 7·e^i·x/(32·i) - 7·e^{- i·x}/(32·i) - 5·e^3·i·x/(32·i) + 5·e^{- 3·i·x}/(32·i) + 3·e^5·i·x/(32·i) - 3·e^{- 5·i·x}/(32·i) - e^7·i·x/(32·i) + e^{- 7·i·x}/(32·i)

= 7/16·SIN(x) - 5/16·SIN(3·x) + 3/16·SIN(5·x) - 1/16·SIN(7·x)