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Aufgabe:

Sei \( \mathbb{K} \) ein Körper, und sei \( n \) eine natürliche Zahl. Eine Matrix \( A=\left(a_{i j}\right) \in \mathrm{M}_{n n}(\mathbb{K}) \) heißt schiefsymmetrisch, falls \( a_{i j}=-a_{j i} \) für alle \( 1 \leq i, j \leq n \).

1. Beweisen Sie, dass die Menge

\( \mathcal{S}_{n}(\mathbb{K})=\left\{A \in \mathrm{M}_{n n}(\mathbb{K}) \mid A \text { ist schiefsymmetrisch }\right\} \)

ein Unterraum von \( \mathrm{M}_{n n}(\mathbb{K}) \) ist.

2. Bestimmen Sie eine Basis und die Dimension von \( \mathcal{S}_{3}(\mathbb{R}) \).

von

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