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Bestimmen Sie rechnerisch die Intervalle, auf denen die Funktion f monoton steigend bzw. monoton fallend verläuft, sowie die Intervalle, auf denen die Funktion einen konvexen bzw. konkaven Verlauf hat. a) f(x) = x^2*e^-2x b) f(x) = x^2 *lnx
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f(x) = x^2·e^{- 2·x}

f'(x) = 2·x·e^{- 2·x}·(1 - x)

f''(x) = 2·e^{- 2·x}·(2·x^2 - 4·x + 1)

Streng monoton steigend f'(x) >= 0 --> 0 ≤ x ≤ 1

Konvex f''(x) >= 0 --> x ≤ 0.2928932188 ∨ x ≥ 1.707106781

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f(x) = x^2·LN(x)

f'(x) = 2·x·LN(x) + x

f''(x) = 2·LN(x) + 3

Streng monoton steigend f'(x) >= 0 --> x ≥ 0.6065306597

Konvex f''(x) >= 0 --> x ≥ 0.2231301601

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a) Es handelt sich um eine ===> ganze ===> ( transzendente ) Funktion; siehe ===> Funktionentheorie. Als ganze Funktion ist sie auch auf ganz |R definiert.

Im Ursprung besitzt sie eine doppelte Nullstelle; eine Nullstelle gerader Ordnung ist immer ein Extremum ( offensichtlich das absolute Minimum, weil unsere Funktion ja nicht negativ ist. )

Halt stop; bei transzendentn Funktionen ist die Ordnung einer Nullstelle nicht ohne Weiteres ersichtlich. Z.B. besitzt y = x sin ( x ) im Ursprung eine doppelte Nullstelle. Also was meinen wir damit genau?


Definition 1


Eine funktion y = f ( x ) sei vom Typ ( x0 ; n ) , falls sie in einer ( offenen ) Umgebung von x0 n-mal differenzierbar ist.


Definition  2a ( n-fache Nullstelle )


Die Funktion y = f ( x ) habe eine Nullstelle n-ter Ordnung in x0 , falls eine Funktion g ( x ) existiert vom Typ ( x0 ; n ) so dass gilt


f ( x ) = g ( x ) ( x - x0 ) ^ n  ( 1a )

g0 := lim g ( x ) < > 0    ( 1b )


Erläuterung. Für x < > x0 folgen ja die Werte von g ( x ) aus Definition ( 1a ) Für x = x0 erhalten wir allerdings keine Aussage.

Dafür existiert aber der Grenzwert ( 1b ) , weil g ( x ) wegen der voraus gesetzten Differenzierbarkeit auf jeden Fall stetig ist. Dass dieser Grenzwert nicht Null sein darf, ist wesentlich. Sonst wäre die definierte Ordnung n    i.A. nicht eindeutig.


Definition 2b


Eine Funktion y = f ( x ) vom Typ ( x0 ; n ) hat eine Nullstelle n-ter Ordnung in x0 , falls


f ( x0 ) = f ' ( x0 ) = ... = ( d/dx ) ^ ( n - 1 ) f ( x0 ) = 0   ( 2a )

( d/dx ) ^ n  f ( x0 ) < > 0   ( 2b )


Satz 1


Die Definitionen 2a und 2b sind äquivalent.


Dass die Funktion


f ( x ) := x ²  exp ( - 2 x )    ( 3 )


im Ursprung eine doppelte Nullstelle hat, sieht man nach Methode 2a wesentlich schneller als mit 2b .

Halt Stop; Ableitungen sind noch lange nich. Ganz wichtig sind jetzt Grobskizze und Asymptotik, damit wir merken, wo noch weitere kritische Punkte zu erwarten sind. Für x ===> ( - °° ) geht der Graf nach ( + °° ) wie die e-Funktion; und er verebbt in dem uneigentlichen Punkt


( + °° | + 0 )    ( 4 )


weil die e-Funktion jedes Polynom unterdrückt. Wir erwarten somit


0 < x1 ( w ) < x ( max ) < x2 ( w )     ( 5 )


Die erste Ableitung bildest du am besten mit der Methode des ===> logaritmischen Differenzierens:


ln ( y ) = 2 [ ln ( x ) - x ] ( 6a )

y ' / y = 2 ( 1/x - 1 ) = 0 ===> x ( max ) = 1  ( 6b )

( x | y ) ( max ) = ( 1 | 1/e ² )   ( 6c )


Es gibt ein Verfahren, den ===> D-Operator ( Courant Bd. 2 ) direkt ohne Zwischenschritte die 4 711 . Ableitung  von ( 3 ) zu bilden, eine für n-te Ableitung verallgemeinerte Produktregel ( VPR ) Und zwar funktioniert die VPR ganz analog der ersten binomischen; z.B. für  2. Ableitung ergibt sich


( u v ) " = u " v + 2 u ' v ' + u v "     ( 7a )

= ( 2 - 8 x + 4 x ² ) exp ( - 2 x ) = 0  ( 7b )

x ² - 2 x + 1/2 = 0 | MF  ( 7c )

x1;2 ( w ) = 1 -/+ 1/2 sqr ( 2 )    ( 7d )


Was auffällt undwas ich bei so Aufgaben schon öfters hatte: Die beiden WP fallen symmetrisch zu dem Maximum.

Der Definitionsbereich der b) sind alle x > = 0 Ja doch; auch die Null . Denn Physiker wie ich wissen


lim x ln ( x ) = ( - 0 )   ( 8 )


Wenn du jetzt fragst, von welcher Ordnung ist die Nullstelle im Ursprung, bretterst du auf eine Katastrofe. Wieder halten wir uns an Definition 2a ; wäre sie einfach, so müsste


g ( x ) = x ln ( x ) ===> 0  ( 9a )


Grenzwert Null hatten wir ja ausdrücklich ausgeschlossen. Wäre sie hingegen doppelt


g ( x ) = ln ( x ) ===> ( - °° )   ( 9b )


d.h. unsere Nullstelle besitzt gar keine klar definierte Ordnung. Laut Voraussetzung müsste ja auch g zwei Mal differenzierbar sein; bei x = 0 ist sie nicht einmal stetig. Im Übrigen ist die ganze Chose eh nicht ganz koscher; zusätzlich war ja gefordert, dass f in einer OFFENEN Umgebung von x0 definiert ist. Hier dagegen ist x = 0 Randpunkt des Definitionsbereichs.

Dann gibt es noch die Nullstelle bei x = 1 . Die ist jetzt wirklich einfach, wie man mit Methode 2b unmittelbar nachprüft. Ich will trotzdem mal zum Vergleich Version 2a vorführen. Dann ergibt sich


g ( x ) =    x ² ln ( x ) / ( x - 1 )   ( 10a )


Der Vorfaktor x ² ist unkritisch und strebt gegen Eins. Dann haben wir noch


d (x ) := ln ( x ) / ( x - 1 )   ( 10b )


d ( x ) ist aber doch nichts anderes als der Differenzenquotient von Logaritmus,  genommen zwischen x0 = 1 und der beliebigen Stelle x . Sein Grenzwert ist die Ableitung der Logaritmusfunktion bei x0 = 1 , und die ist Eins.

Da ja nun die Ableitung von f ( x ) im Ursprung verschwindet, erwarten wir auf jeden Fall


0 < x ( w ) < x ( min ) < 1     ( 11 )


Ungewiss ist einstweilen noch, ob die Asymptotik im Positiven noch weitere WP zulässt. Für große x sollte ein Parabel ähnliches Verhalten heraus kommen.


f ( x ) := x 2  ln ( x )  ( 12a )

f ' ( x ) = 2 x ln ( x ) + x = ( 12b )

= x [ 2 ln ( x ) + 1 ] = 0   ( 12c )

x ( min ) =  1 / sqr ( e )   ( 13a )

y ( min ) = - 1 / 2 e    (  13b )


Die 2. Ableitung besorgen wir uns wieder mittels ( 7a ) direkt aus ( 12a )


f " ( x ) = 2 ln ( x ) + 4 - 1 = 2 ln ( x ) + 3   = 0  ( 14a )


x ( w )  = x ³ ( min )   ( 14b )

y ( w ) = 3 y ( min ) / e ²   ( 14c )


Nun gilt aber in ( 14c ) die Abschätzung


2 < e  ===> 4 < e ² ===> 4/3 < e² /3 ===>3 / e ² < 3/4 < 1 ===> | y ( w ) | < y ( min )   ( 15 )


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