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Liebe Mathematiker :),

welches Verfahren muss ich anwenden um die Nullstellen dieser Gleichung 3x³+2x-8=0 zu berechnen und wie wird dieses angewendet?

Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen :)

Liebe Grüße
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Was meinst du mit 'ohne ausklammern' ?
Naja, ich vermute einfach die Lösungsformel anwenden. Dann muss man nicht ausklammern.
mE ist das Newtonverfahren nötig.

Hmm? Das ist aber nicht oben genanntes Problem ;).

 

Hm, ja Du hast recht. Danke für die Berichtigung.
oke vielen dank schonmal für den lösungsansatz :)

4 Antworten

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Die Nullstelle wirst du mit dem Newton-Verfahren wohl am schnellsten finden können.

Grob gesprochen funktioniert das ganze so:

1. Wähle eine beliebige Stelle aus, an der du eine Tangente konstruiertst

2. Berechne die Stelle, an der diese Tangente die x-Achse schneidet.

3. Nehme die aus Schritt 2. ermittelte Nullstelle als Ausgangspunkt für eine weitere Tangente und wiederhole

den Vorgang.

Du wirst so nie einen genauen Wert der Nullstelle erhalten, aber mit jeder Wiederholung (hier auch Iteration genannt). sollte das Ergebnis genauer werden.

 

Ich habe das hier jetzt mal ausgerechnet:

Wie du siehst pendelt sich das bei etwa 1.22726 ein. Entspricht ja auch etwa dem Plot.

 

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Hi,

wie erwähnt hilft hier das Newtonverfahren weiter.

Dafür sollte Dir folgende Formel bekannt sein:

 

xi+1=xi-f(xi)/(f'(xi))

 

Für x0 wähle einen beliebigen Wert, welcher bevorzugt nahe der zur vermutenden Nullstelle zu finden ist. Meine Wahl x0=1,5.

Damit wir nun noch durchstarten können, fehlt noch die Ableitung: f'(x)=3x^2+2

 

x1=1,5-f(1,5)/f'(1,5)=1,685714

x2=x1-f(x1)/f'(x1)=1,670359

x3=1,670244

 

Die ersten 3 Stellen nach dem Komma stimmen schon überein und ich würde das Verfahren bereits einstellen. Die gesuchte Nullstelle ist also bei x=1,670 zu finden.

 

Alles klar?

Grüße

Avatar von 141 k 🚀

Nun hab ich selbst etwas unterschlagen.

Habe für x^3+2x-8 gerechnet.

 

Für f(x)=3x^3+2x-8

f'(x)=9x^2+2

 

Korrektur:

x0=1,5

x1=1,26966

x2=1,22850

x3=1,22727

 

Also x=1,22

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Alternativ kannst du auch das Bisektionsverfahren anwenden.
Finde zunächst eine Stelle  x1  mit  f(x1)  < 0,  sowie  eine Stelle  x2  mit  f(x2)  > 0. Dann weiß man, dass im Intervall  (x1|x2)  eine Nullstelle liegen muss. Beginne z. B. mit  x1 = 1  und  x2 = 2. Man rechnet nach, dass  f(x1) = -3  und  f(x2) = 20  ist. Daher liegt im Intervall  (1|2)  eine Nullstelle. Definiere nun  x3  als Mittelpunkt dieses Intervalls, also  x3 = (x1 + x2)/2 = 1.5. Berechne  f(x3) = f(1.5) = 5.125 > 0. Eine Nullstelle liegt also im Intervall  (1|1.5). Auf diese Weise kann man das Intervall, das eine Nullstelle enthält, mit jedem Schritt halbieren und erhält eine Folge  xk, die gegen eine Nullstelle von  f  konvergiert.

Avatar von
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Nachdem jetzt alle möglichen Iterationsverfahren vorgestellt wurden muss ich ein wenig Haarspalterei betreiben und sagen, das sind leider alles keine Nullstellen was ihr berechnet habt! Auch wenn sie teilweise ganz in der Nähe von einer solchen liegen (je nach dem was man als "in der Nähe" interpretiert). Man kann ja einfach mal die berechneten Werte in die Funktion eingeben, da kommt nie Null heraus.

Mich würde interessieren ob du ein Schüler oder ein Student bist, bzw. ob du mit komplexen Zahlen umgehen kannst. Falls dies der Fall ist, so gibt es nämlich tatsächlich auch ein Lösungsverfahren für solche Gleichungen.

Naja, nichts für ungut, die exakte reelle Lösung ist übrigens:

Avatar von

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