Folgende Vorgehensweise:
Es sei \(A\subseteq \bigcup\limits_{i\in I} A_i\) eine offene Überdeckung von \(A\). Du willst zeigen, dass es eine endliche Teilüberdeckung gibt.
Zuerst zeigst du, dass \(\operatorname{diam}(A):=\sup\limits_{x,y\in A} d(x,y)<\infty\) (z.B. durch Widerspruch) und damit, dass \(A\) beschränkt ist (\(\operatorname{diam}(A)\) nennt man den Durchmesser von \(A\)).
Wir können annehmen, dass die \(A_i\) Bälle sind, d.h. Mengen der Form \(\{y\in A\ |\ d(x,y)<\varepsilon\}\) mit \(\varepsilon>0\) und \(x\in M\) (warum?).
Dann gibt es ein \(\varepsilon_0>0\), sodass diejenigen \(A_i\) eine offene Überdeckung von \(A\) bilden, deren Radius größer ist als \(\varepsilon_0\) (auch das ist natürlich wieder zu begründen).
Der Rest folgt dann durch Widerspruch: Angenommen, die obige offene Überdeckung hätte keine endliche Teilüberdeckung. Nimm einen Ball \(A_1\) (von den oben definierten \(A_i\) mit Radius größer als \(\varepsilon\)) und daraus ein Element \(x_1\in A_1\). Dann gibt es ein \(x_2\in A\), das nicht in dem Ball \(A_1\) liegt. Nun wählen wir aus der offenen Überdeckung einen Ball aus, der \(x_2\) enthält. Dann gibt es ein \(x_3\in A\), das nicht in den ersten beiden Bällen liegt usw.
Induktiv erhalten wir dann eine Folge \((x_n)_{n\geq 1}\) (du musst wieder begründen, warum man in jedem Schritt ein Element wählen kann, das in keinem der vorherigen Bälle liegt). Der Abstand der Folgenglieder ist jeweils mindestens \(\varepsilon_0\), die Folge kann also keine konvergente Teilfolge besitzen. Und damit haben wir unseren Widerspruch.
Noch ein kleiner Hinweis: Wenn man die Lösungen Mittwoch 16:00 Uhr abgeben muss, ist es reichlich spät, wenn man sich erst Mittwoch Mittag damit beschäftigt... (das bezieht sich auch auf deine Frage zu der diskreten Metrik). http://www.mathematik.uni-mainz.de/Members/jfuhrman/aufgaben_ana2/ana2_blatt3.pdf
