Nullstellen von y=x^8 -1 in Eulerdarstellung bestimmen?

Question

Hallo 

wie bestimmt man die Nullstellen von y = x^8-1 in Eulerdarstellung und in kartesicher Darstellung?? 

 

Answer 1

x^8 - 1 = 0

x^8 = 1

Sicher sind die beiden reellen Lösungen +1 und -1

Weißt du wie man im Komplexen die Wurzel zieht? Bzw. wie die Wurzeln im Komplexen liegen. Die liegen hier in diesem Fall auf dem Einheitskreis mit Winkeln von jeweils dem Vielfachen von 45 Grad. 

Du kannst ja die rechte Seite in E-Form schreiben

x^8 = e^{360°·k·i}

x = (e^{360°·k·i})^{1/8}

x = e^{45°·k·i}

Da sieht man jetzt deutlich die 45 Grad Winkel.

Comments

also ich weiss nicht , wie ich weiter machen soll 

ich soll die Nullstellen bestimmen in Eulerdarstellung 

Die Nullstellen in dieser Gleichung sind 1 ,-1 , -i , i oder?? 

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gc227: Das sind erst 4 Nullstellen.

Du solltest auch die Diagonalen der Quadranten noch berücksichtigen. 

Kartesische Darstellung z1 = 1/√2 + i/√2, ....

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Die Eulerdarstellung war schon richtig.

x = e^{pi·k/4·i}

Es gehören aber nicht nur 1, i, -1 und -i dazu. Ich schrieb ja auch 45 Grad Winkel und nicht 90 Grad Winkel.

Als Darstellung sieht das dann wie folgt aus

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Matheocoach: Selbstverständlich war die Eulerdarstellung (Polardarstellung) richtig.

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Danke für die Erklärung ! 

aber wie kann ich auch die Nullstellen in kartesicher Darstellung bestimmen ?

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Es gilt doch für Umwandlung in die kartesischen Koordinaten:

a·e^{x·i} = a·COS(x) + a·SIN(x)·i

Answer 2

mithilfe folgender Zerlegung kannst du die Nullstellen berechnen.$$x^8-1=(x^4-1)\cdot(x^4+1)$$$$\quad\qquad=(x^2-1)\cdot(x^2+1)\cdot(x^2+\sqrt2\cdot x+1)\cdot(x^2-\sqrt2\cdot x+1).$$