Leiten sie aus cos2pi/5=-1+Wurzel5/4 her: sin2pi/5=1/2wurzel5+Wurzel5/2

Question

Aufgabe:

Leiten sie aus cos2pi/5=-1+Wurzel5/4 her: sin2pi/5=1/2wurzel5+Wurzel5/2

Problem/Ansatz:

Ich weiß leider gar nicht wie ich anfangen soll, wäre sehr dankbar für Hilfe …

Comments

Fang an mit \(\sin^2(x)+\cos^2(x)=1\). Wähle \(x=\frac25\pi\), setze den vorgegebenen Wert für \(\cos\big(\frac25\pi\big)\)  ein und löse nach \(\sin\big(\frac25\pi\big)\) auf. Ergebnis sollte sein$$\sin\big(\tfrac25\pi\big)=\frac12\sqrt{\frac{5+\sqrt5}2}.$$

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Vielen Dank sehr hilfreich! Habe nun nach sinus aufgelöst. Jetzt habe ich sin2pi/5=1-(-1+Wurzel5/4). Nun komme ich nicht weiter wie ich auf 1/2•wurzel5+Wurzel5/2 kommen soll? Oder habe ich falsch aufgelöst?

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Du hast die Quadrate nicht berücksichtigt:$${\sin^2}\big(\tfrac25\pi\big)=1-{\cos^2}\big(\tfrac25\pi\big)=1-\left(\frac{-1+\sqrt5}4\right)^2=1-\frac{6-2\sqrt5}{16}=\frac{5+\sqrt5}8.$$

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Vielen lieben Dank, habe es jetzt auch richtig☺️