Die lineare Unabhängigkeit der Vektoren im K-Vektorraum prüfen

Question

Aufgabe:

Sei \( V \) ein \( \mathbb{K} \) Vektorraum, \( \left\{x_{1}, \ldots, x_{r}\right\} \subseteq V \) linear unabhängig. Zeige:

a) \( \left\{x_{1}, \ldots, x_{i-1}, x_{i}+x_{j}, x_{i+1}, \ldots, x_{r}\right\} \) mit \( i, j \in\{i, \ldots, r\} \) ist linear unabhängig

b) \( \left\{x_{1}, \ldots, x_{i-1}, \lambda x_{i}, x_{i+1}, \ldots, x_{r}\right\} \) mit \( 0 \neq \lambda \in \mathbb{K}, i \in\{i, \ldots, r\} \) ist linear unabhängig

Comments

Vielleicht als (nicht unbedingt sonderlich konstruktive) Anmerkung: Üblicherweise macht es keinen Sinn, zu sagen, ein Vektorraum sei linear unabhängig.

---

Lies die erste Zeile so:

"Sei V ein Vektorraum über dem Körper K, [komma]

und sei die Menge der Vektoren {x1,....,xe} als Teilmenge von V eine Menge von linear unabhängigen Vektoren."

Answer 1

Beweis indirekt. Beispiel b)

Annahme {x1, x2, ......., kxi, .......xn} sind linear abhängig.

==> Es gibt (a1, a2, ....,an) ≠ (0,0,....,0) mit   aj € K mit

a1x1 + a2x2 + ...... + aikxi + .... + anxn = 0          (Nullvektor).

Da bi:= aik als Produkt 2er Elemente von K wieder in K liegt, folgt

a1x1 + a2x2 + ...... + bixi + .... + anxn = 0     

Wenn (a1,a2, ....bi,.....an) ≠ (0,0,.....0) (***) heisst das, dass {x1, x2, ....,xn} lin. abh. sind.

Also ein Widerspruch zur Voraussetzung. q.e.d.

Nun noch zu (***).

Wenn ai = 0, ist mindestens ein aj ≠ 0, mit j≠i. (***) ist erfüllt.

Wenn ai ≠ 0 ==> k * ai ≠ 0, da k≠0 vorausgesetzt wurde. Somit ist (***) auch erfüllt.

Hinweis: k steht für lambda und n (aus Versehen) für r.

Comments

Und bei a) würde man dann genau so vorgehen?

Nur ersetzt man dort dann a1x1 + a2x2 + ...... + aikxi + .... + anxn = 0 mit x1+...+(xi+xj)+...+xr = 0

oder verstehe ich deine Beweisführung falsch.

Danke