Lineare Unabhängigkeit prüfen

Question

:)

Die Aufgabe lautet:

Sei K ein Körper, V ein K - Vektorraum und {v1,v2,v3} eine linear unabhängige Teilmenge von V .

a) Z.z. {v1, v1 + v2, v1 + v2 + v3} linear unabhängig.
b) Ist die Menge {v1 +v2, v1 +v3, v2 +v3} auch linear unabhängig ? Begründen Sie ihre Antwort.

Meine Frage jetzt:

zu a) da v1,v2,v3 lin. heißt dass das : a(v1)+b(v2)+c(v3) = 0, somit auch a=b=c=0

Muss ich jetzt für die Menge auch das gleiche machen?

Also:

a(v1)+b(v1+v2)+c(v1+v2+v3)= 0 kann ich dann sagen a=b=c=0 ? somit ist es auch lin unabhängig. Oder?

Ich bedanke mich im Voraus für die Zeit die Sie sich nehmen um meine Frage zu lesen.

Liebe Grüße

Answer 1

a(v1)+b(v1+v2)+c(v1+v2+v3)= 0 kann ich dann sagen a=b=c=0 ?

Das musst du natürlich zeigen, also forme um:

(a+b+c)*v1 + (b+c)*v2 + c*v3 = 0

und weil v1, v2, v3 lin. unabh. sind, folgt hier

a+b+c= 0 und b+c= 0 und c=0

und dieses Gleichungssystem hat NUR die Lösung a=b=c=0

.

Bei v1 +v2, v1 +v3, v2 +v3 ist es ähnlich:

a(v1+v2)+b(v1+v3)+c(v2+v3)= 0  gibt

(a+b)*v1 + (a+c)*v2 + (b+c)*v3 = 0 also

a+b=0   und a+c=0    und b+c=0

a=-b     und  -b+c= 0   und  b+c= 0

 a=-b     und  -b+c= 0   und    2c= 0

also wieder nur a=b=c=0 .

Comments

Vielen Dank! :)

LG