Finden Sie A,Θ∈ℝ, so dass a*cos(x)+b*sin(x)=A*sin(x+Θ).

Question

ich weiß leider nicht so genau, wie ich bei meiner Aufgabe vorgehen soll.

Seien a,b∈ℝ, a²+b²>0. Finden Sie A,Θ∈ℝ, so dass a*cos(x)+b*sin(x)=A*sin(x+Θ).

Hat vielleicht jemand eine Erklärung oder einen Ansatz für mich?

Danke

Answer 1

Wir fangen mal mit der rechten Seite an. Es gilt das Additionstheorem für den Sinus:

sin(a+b) = sin(a)cos(b) + sin(b)cos(a)

Schreiben wir also die rechte Seite mal damit hin:

A*sin(x+Θ) = A*(sin(x)cos(Θ) + sin(Θ)cos(x))

Durch vergleich mit der linken Seite stellt man nun fest:

A*sin(Θ) = a

A*cos(Θ) = b

Quadriert man beide Gleichungen, dann erhält man:

A² * sin²(Θ) = a²

A² * cos²(Θ) = b²

Jetzt addiert man sie und nutzt sin²(x) + cos²(x) = 1 für alle x aus:

A² = a² + b²

Also A = √(a²+b²)

Damit erhält man auch Θ, nämlich aus einer der beiden Gleichungen:

Θ = arcsin(a/√(a²+b²)) = arccos(b/√(a²+b²))

 

Comments

Etwas einfacher erhält man Θ noch, wenn man einfach die erste Gleichung durch die zweite teilt:

sin(Θ)/cos(Θ) = a/b

Θ = arctan(a/b)