Ist diese Funktion stetig? f: R2\{(0,0)} → R, f(x, y)=(x2*sin y)/(x4+y2) stetig und warum (nicht)?

Question

Ist

f: R²\{(0,0)} → R,

f(x, y)=(x²*sin y)/(x⁴+y²)

stetig und warum (nicht)?

Ich vermute, dass sie stetig ist, weil die "kritische" Stelle 0 aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen ist.

Wie beweise ich das jetzt bzw. welche "Fälle" muss ich betrachten?

Comments

Mir ist gerade noch etwas eingefallen: Wir hatten in der Vorlesung den Satz, dass die Zusammensetzung stetiger Funktionen wieder stetig ist. Kann ich das hier nutzen?

Answer 1

Hattet ihr auch den Satz, dass Quotienten stetiger Funktionen wieder stetig sind, falls der Nenner ungleich 0 ist? Damit wärst du hier nämlich sofort fertig.

Comments

Habe gerade nachgeschaut, den Satz hatten wir auch!

---

Jetzt soll ich im 2. Teil der Aufgabe schauen, ob f stetig fortsetzbar ist und als Tipp dazu f(x,0) und f(x, x^2) betrachten.Das habe ich nun gemacht:f(x, 0)=0 und f(x, x^2)=(x^2*sin x^2)/2x^4Aber so richtig was anfangen kann ich damit nicht. Kannst du mir da weiterhelfen?

---

Erstmal kannst du noch kürzen.
Und dann berechnest du $\lim\limits_{x\to 0} f(x,0)$ und $\lim\limits_{x\to 0} f(x,x^2)$. Vielleicht siehst du dann, was du damit anfangen kannst?

---

Stimmt, mit kürzen ist f(x, x^2)=sin x^2/2x^2.Wenn ich jetzt für beide x gegen 0 laufen lasse, kommt für beide 0 raus (oder funktioniert das bei dem 2. nicht, weil der Nenner nicht 0 werden darf?).Heißt das dann direkt, dass man f stetig fortsetzen kann, weil beides mal 0 rauskommt? Bei der Def. bin ich mir unsicher, finde sie im Skript nicht.

---

$\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin(x^2)}{2x^2}$ ist nicht 0.
Ist der Grenzwert $\lim\limits_{x\to 0} \frac{\sin(x)}{x}$ bekannt?

---

Ich hätte auch da 0 behauptet, aber das ist dann wahrscheinlich falsch?

---

Ja, das ist falsch.
Tipp: L'Hospital.

---

Okay habe nochmal nachgeschlagen, es ist 1, richtig?

---

Ja.                   

---

Okay, dh. für sin x^2/2x^2 ist es dann 1/2. Was sagt das über stetig fortsetzbar aus?

---

$\lim\limits_{x\to 0} f(x,0)$ und $\lim\limits_{x\to 0} f(x,x^2)$ sind zwei Grenzwerte bei Annäherung an $(0,0)$, aber auf unzerschiedlichen "Wegen". Beim ersten Grenzwert nähert man sich dem Ursprung entlang des Weges $(x,0)$, d.h. auf der x-Achse. Beim zweiten Grenzwert nähert man sich dem Ursprung auf dem Weg $(x,x^2)$.
Wäre $f$ stetig forsetzbar, müssten aber beide Grenzwerte übereinstimmen; egal aus welcher Richtung man sich an den Ursprung nähert, müsste immer der gleiche Grenzwert rauskommen.

---

Ah okay, ich verstehe.

VIELEN DANK!!!