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Hey

steh grad ein bisschen auf dem Schlauch.

Hab hier zwei Aufgaben:

1. Zeigen Sie mittels Induktion über n, dass n^3 + 5n stets durch 6 teilbar ist.

Mein Ansatz dafür ist auf A(n+1): ((n+1)^3 + 5(n+1)) mod 6 = 0 zu prüfen.

2. Bestimmen Sie die letzte Ziffer von 71^n für alle n Element der natürlichen Zahlen.

Hier weiss ich zwar, dass die letzte Ziffer eine 1 ist, aber das habe ich durch ausprobieren herausgefunden.
von

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Man zeige das es für n = 1 gilt:

n^3 + 5n = 1^3 + 5*1 = 6

Demnach ist es für n = 1 erfüllt.

Nun zeigt man das es für n+1 gilt unter der Annahme, dass es für n = 1 gilt.

(n+1)^3 + 5(n+1)
= (n^3 + 3·n^2 + 3·n + 1) + (5·n + 5)
= (n^3 + 5n) + (3·n^2 + 3·n) + 6
= (n^3 + 5n) + (3·n·(n+1)) + 6

Der erste Summand ist durch 6 teilbar nach Annahme. Der dritte Summand ist auch durch 6 teilbar.
Der beim mittleren Summand entweder n oder n+1 gerade ist ist der mittlere Summand auch durch 6 teilbar.

Das war zu zeigen.
von 440 k 🚀

2. Bestimmen Sie die letzte Ziffer von 71n für alle n Element der natürlichen Zahlen.

Für n = 1 ist das klar 1.

Nun zeigen wir das es für n+1 gilt, wenn es für n gilt.

Wenn bei 71^n hinten eine 1 steht lässt es sich schreiben als

71^n = 10a + 1

71^{n+1} = 71 * 71^n = 71 * (10a + 1) = 710a + 71 = Durch den Faktor 10 hat 710a hinten auf jedenfall eine 0. Wenn ich dazu 71 addiere habe ich einen Einer. 

Das war zu zeigen.

Wie kommt man denn auf 71^n = 10a + 1 ????

Alles andere ist sehr logisch. Danke.

Welche Zahlen erhältst du, wenn du in

10a + 1

für a mal irgendwelche natürliche Zahlen einsetzt ?

Setz also mal a = 1, 2, 3, ... ein und schaue was dabei heraus kommt.

11, 21, 31, ..., 71, ...
Das erklärt mir aber immer noch nicht, wie ich auf sowas komme. Das ist häufig bei solchen Beweisen so: einfach ist es, wenn eine Gleichung mit zwei Seiten gegeben ist und schwierig, wenn man die zweite Seite noch aufstellen muss.Hast du einen Tipp, wie man auf sowas kommt?

Das solltest du an ein paar Beispielen einfach üben

Jede gerade Zahl kann man schreiben als ...

Jede ungerade Zahl kann man schreiben als ...

Jede Zahl, die auf 8 endet kann man schreiben als ...

Ich danke dir für deine Auskunft, ich werde es versuchen.

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