Zeigen Sie, dass die Verknüpfung g ° f streng monoton wachsend ist.

Question

Aufgabe:

Seien \( D_{f} \) und \( D_{g} \) Intervalle und \( f: D_{f} \rightarrow \mathbb{R}, g: D_{g} \rightarrow \mathbb{R} \) streng monoton wachsende Funktionen mit \( f\left(D_{f}\right) \subseteq D_{g} \).

Zeigen Sie, dass die Verknüpfung \( g \circ f \) streng monoton wachsend ist.

Was kann man über die Monotonie \( g \circ f \) aussagen, wenn \( f \) und \( g \) streng monoton fallend sind?

Streng monoton wachsend bedeutet ja, dass x_n < x_n+1 und streng monoton fallend: x_n > x_n+1.

Doch was bringt mir das für die Aufgabenstellung?

Comments

Schau dir vielleicht mal den Artikel hier an: https://www.matheretter.de/wiki/monotonie-funktionen

Das sollte dir zeigen, dass da auch f(xn) und f(xn+1)... mit in die Ungleichungen müssen.

Damit kannst du dann die Verknüpfung ansehen.

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Was würde es denn mathematisch bedeuten, wenn \(g \circ f \) streng monoton wachsend wäre? Wenn du es dir einmal sauber aufschreibst sollte es eigentlich offensichtlich sein (falls dir die Definition für Monotonie von Funktionen geläufig ist).

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Kann ich das so schreiben:

(1)

angenommen  x < y, da g monoton wachsend, dann ist

r:= g(x)  ≤  s:= g(y)

für f: gilt folglich:  f(r) ≤ f(s), sodass

f(g(x)) ≤ f(g(y))  => (g • f)(x) ≤ (g • f)(y)

=> g • f monoton wachsend

Answer 1

Ja das stimmt. Und wenn beide Funktionen streng monoton fallend sind folgt aus \( x < y \) das  \( f(x) > f(y) \) gilt. Da auch \( g \) streng monoton fallend ist, folgt.

$$ g(f(x)) < g(f(y))  $$ also $$  (g \circ f) (x) < (g \circ f)(y) $$ D.h. \( g \circ f \) ist streng monoton steigend.