Bestimmen Sie jeweils die Dimension und eine Basis von Vektorräumen

Question

Aufgabe:

Es seien die Untervektorräume \( U_{1}=\operatorname{span}\{(0,1,2),(1,1,1),(3,5,7)\} \) und \( U_{2}=\operatorname{span}\{(1,1,0),(-1,2,2) \), \( (2,-13,-10),(2,-1,-2)\} \) des \( \mathbb{R}^{3} \) gegeben.

Bestimmen Sie jeweils die Dimension und eine Basis von \( U_{1}, U_{2}, U_{1}+U_{2} \) und \( U_{1} \cap U_{2} \)

Answer 1

Schreib mal die drei Erzeugenden von U1 in eine Matrix und mache
die Stufenform, dann erhältst du eine Zeile mit nur 0en,
also dim(U1)=2.
bei U2 genauso und für U1+U2 schreibst du alle 7 Vektoren in eine
Matrix und bestimmst so die dim(U1+U2).
Den Rest macht die Dim-Formel
 dim(U1+U2) = dim(U1) + dim(U2) - dim(U1∩U2)

Comments

Erhält man für dim(U1+U2) = 3?

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Ja und bei U2 gibt es dim=2

also hat U1∩U2 die dim = 1.

Für eine Basis musst du also nur einen finden, der in U1 und U2 ist.