Integration von ln(x) anders möglich als Substitution?

Question

moin Leute ich wollte mal Fragen was es alles für Möglichkeiten gibt ln(x) zu integrieren. Die Substitution ist wahrscheinlich die einfachste Variante. Weiter gibt es die partielle Integration mit der ich weniger vertraut bin. Gibt es sonst noch weitere Möglichkeiten bzw. Wege zum Ziel?Danke

Comments

"Die Substitution ist wahrscheinlich die einfachste Variante"

Darüber würde ich gerne mehr von dir hören :).

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Liege ich diesbezüglich Falsch mit meiner Vermutung?

Ich würde sagen u=ln (x) v=x

dann u*v = x*ln(x)

hmm jetzt steh ich auf dem Schlauch muss ja irgendwie noch ein x bekommen

Wie lautet den die einfachste Variante? ^^

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Selbst bei einer solchen Substitution (obwohl ich grade nicht sehe ob du wirklich weißt wie es weiter geht) greift man am Ende ja doch auf die partielle Integration zurück. Warum also nicht direkt partiell integrieren? Find ich erheblich einfacher, als vorher zu substituieren. Ob es die "einfachste" Methode ist kann ich dir nicht sagen, nur die "einfachste" dir mir persönlich auf Anhieb in den Sinn kommt.

Answer 1

mit part. Integration so

$$\int_{}^{}1 * ln(x) dx  =  x * ln(x) - \int_{}^{}x * \frac { 1 }{ x } dx $$
$$ =  x * ln(x) - \int_{}^{}1 dx $$
= x * ln(x) - x

Answer 2

( x*ln(x)  ) ´ = 1 * ln ( x ) + x * 1/x = ln ( x ) + 1

( x*ln(x)  - x ) ´ = 1 * ln ( x ) + x * 1/x - 1 = ln ( x ) + 1 - 1 = ln ( x )

Die Stammfunktion  wird manchmal auch geschrieben

x * ( ln ( x ) - 1 )