quadratische Ergänzung, symmetrische Matrix, gT Ag

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Wir hatten in der Vorlesung ein Bespiel, dass ich nicht ganz verstanden habe:

gegeben ist Matrix A = (−1111−22−12−2) \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 2 \\ -1 & 2 & -2 \end{pmatrix}

es soll eine Matrix g ∈ GL3 (ℝ)  gefunden werden, sodass gTAg die Form (Ik000−Il0000)\begin{pmatrix} I_k & 0 & 0 \\ 0 & -I_l & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} hat.

In der Vorlesung wurde dann einmal die bekannte Methode mit charakteristischen Polynom und Eigenwerten, etc erwähnt und dann die Option mit quadratischer Ergänzung:

Betrachte s(v,v) = <v, Av> = -v12 - 2v22 - 2v32 + 2v1v2 - 2v1v3 + 4v2v3 , auch das ist kein Problem, aber:

Zuerst betrachten wie s(v,v) als Funktion von v1 und führen eine quadratische Ergänzung durch:

s(v,v) = -(v1 -v2 +v3)2 + (v2-v3)2 -2v22 -2v32 +4v2v3 = -(v1 -v2 +v3)2  - v22 + 2v2v3 -v32

nun betrachten wir - v22 + 2v2v3 -v32 als Funktion von v2, führen wieder ein quadratische Ergänzung durch und erhalten:

s(v,v)= -(v1 -v2 +v3)2 - (v2-v3)2 = -w12 - w22 = -w12 - w22 + 0w32 mit w=(w1w2w3) \begin{pmatrix} w_1\\w_2\\w_3 \end{pmatrix} =B (v1v2v3) \begin{pmatrix} v_1\\v_2\\v_3 \end{pmatrix} = Bv und

B= (1−1100−1001)\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

Es folgt: s(v,v)= -w12 - w22 = <Bv, (−1000−10000) \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} Bv> = <v, BT (−1000−10000) \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} Bv>

Somit erhalten wir: A = BT (−1000−10000) \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} Bv und gTAg = (−1000−10000) \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} mit

g= B-1 = (110011001) \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}  ∈ GL3(ℝ)


Kann mir das jemand erläutern mit der quadratischer Ergänzung, wie und was dort gemacht wurde ?

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Was genau soll gemacht werden ?

von

Ich sollte nun mit quadratischer Ergänzung anfangen, dass am Ende drei Terme jeweils mit quadrat übrig bleiben, damit ich heraus finden kann, ob das ganze positiv definit ist.

Ich weiß eben, dass ich jetzt eigentlich eine quadratische Ergäzung in v22 machen sollte, weiß aber nicht genau wie das funktioniert.

von

v_(2)2- 4v1v2 + 4v2v3 + 2v1v3 + 2v_(3)2

Wenn ich die Variabeln anders benenne, ist das vermutlich in einer Zeile zu lesen (?):

y2 - 4xy + 4yz + 2xz + 2z2 

= y2 - 4xy + 4x2 - 4x2 + 4yz + 2xz + 2z2     | meine quadratische Ergänzung. 

= (y2 - 4xy + 4x2) - 4x2 + 4yz + 2xz + 2z2 

bringt noch nicht so viel. War das die Frage?

y2 - 4xy + 4yz + 2xz + 2z2 =y2 - 4y(x+z) + 2xz + 2z2 

=( y2 - 4y(x-z) + (2(x-z))2 )   - (2(x-z))2 + 2xz + 2z2 

damit könnte man vielleicht weiterarbeiten. (?) 

Schaue mal hier: https://www.mathelounge.de/240150/quadratische-erganzung-symmetrisch…

von

Ja jetzt macht es Sinn :)

von

Wobei, wir haben die jetzt in der Vorlesung besprochen:

y2 + 4xy + 4yz + 2xz + z2

= ( y - 2x + 2z )2 - 4x2 + 10xz - 4z2

= ( y- 2x + 2z )2 - ( 2x - 5/2z)2 + ( 3/2 z)2

im ersten Schritt wurde die quadratische Ergänzung in y gemacht und beim zweiten x.. So versteh ich es wieder nicht mehr, was mein Dozent da gemacht hat..

von
Sorry, das + z^2 in der ersten Zeile kommt weg
von

Den ersten Teil von

"= ( y- 2x + 2z )2 - ( 2x - 5/2z)2 + ( 3/2 z)2 "

habe ich doch auch, wenn man vom inzwischen oben rot korrigierten Vorzeichenfehler absieht.

Du musst halt meine Klammern noch auflösen und eine weitere quadratische Ergänzung machen.

Ungeschickt ist aber das MINUS zwischen dem ersten und dem 2. quadratischen Summanden in eurem resultierenden Term. Das ist doch nun nicht unbedingt positiv definit! (?)

Wie habt ihr das begründet?

von

Ich weiß leider nicht, ob ich bei dieser Aufgabe mega das Brett vorm Kopf hab oder was da los ist. Aber woher dieses 5/2 und 3/2 kommt leuchtet mir einfach nicht ein..


Wir haben das dann eigentlich nur damit begründet, dass das drei quadratische Terme sind und die ja jeweils positiv definit sind, also auch das Ingesamte.

von
📘 Siehe "Matrix" im Wiki

1 Antwort

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Hi,

falls dir nicht bekannt ist wie die quadratische Ergänzung funktioniert schau bitte erstmal bspw. hier:

https://www.matheretter.de/wiki/quadratische-funktionen

Wenn dir das Prinzip klar ist, sollte es nicht so schwer sein die Schritte nachzuvollziehen:

1. Bei der ersten Umformung könnte man so vorgehen:

−v12−2v22−2v32+2v1v2−2v1v3+4v2v3=−v12+2v1v2−2v1v3−2v22−2v32+4v2v3=−(v12−2v1(v2−v3))−2v22−2v32+4v2v3=−(v12−2v1(v2−v3)+(v2−v3)2−(v2−v3)2)−2v22−2v32+4v2v3=−(v1−(v2−v3))2+(v2−v3)2−2v22−2v32+4v2v3 -v_1^2-2v_2^2-2v_3^2+2v_1v_2-2v_1v_3+4v_2v_3 \\ = -v_1^2+2v_1v_2 -2v_1v_3 -2v_2^2-2v_3^2+4v_2v_3 \\ = -(v_1^2-2v_1(v_2-v_3))- 2v_2^2-2v_3^2+4v_2v_3 \\ = -(v_1^2-2v_1(v_2-v_3)+(v_2-v_3)^2-(v_2-v_3)^2)- 2v_2^2-2v_3^2+4v_2v_3 \\ = -(v_1-(v_2-v_3))^2+(v_2-v_3)^2- 2v_2^2-2v_3^2+4v_2v_3

2. Bei der zweiten Umformung ist es ein wenig übertrieben von quadr. Ergänzung zu sprechen. Hier wird ja direkt einfach die binomische Formel angewendet:

−(v1−v2+v3)2+(v2−v3)2−2v22−2v32+4v2v3=−(v1−v2+v3)2+(v2−v3)2−2(v22−2v2v3+v32)=−(v1−v2+v3)2+(v2−v3)2−2(v2−v3)2 -(v_1-v_2+v_3)^2+(v_2-v_3)^2- 2v_2^2-2v_3^2+4v_2v_3 \\ = -(v_1-v_2+v_3)^2+(v_2-v_3)^2- 2(v_2^2-2v_2v_3+v_3^2) \\ = -(v_1-v_2+v_3)^2+(v_2-v_3)^2- 2(v_2-v_3)^2

Gruß

Avatar von 23 k

Nach etwas rumprobieren (der Technik) hats Klick gemacht !


Nächste Frage: Wie kommt man denn auf Matrix B ? Mir ist auch gerade aufgefallen das Eintrag 2,2 in B  eine 1 sein muss und nicht 0.
von

Die Einträge von B kannst du direkt aus den Beziehungen herleiten:

w1=v1−v2+v3w2=v2−v3w3=v3 w_1 = v_1-v_2+v_3 \\ w_2 = v_2-v_3 \\ w_3 = v_3

von

Achtung. Du hast an einer Stelle noch ein + statt ein Minus.

"=−(v21−2v1(v2-v3)+(v2−v3)2−(v2−v3)2)−2v22−2v23+4v2v3="

Bin gerade an der gleichen Aufgabe. hier: https://www.mathelounge.de/252818/quadratische-erganzung-bei-skalarp… 

von

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