Spaltenraum, Zeilenraum, Dimension, Basis und Ergänzungsraum

Question

Der von den Zeilen einer Matrix aufgespannte Unterraum wird Zeilenraum genannt. Analog wird der von den Spalten aufgespannte Raum Spaltenraum genannt.
Es sei folgende Matrix über \( \mathbb{Z}_{5} \) gegeben:
$$ \left(\begin{array}{cccc} {1} & {0} & {4} & {1} \\ {0} & {4} & {1} & {0} \\ {4} & {4} & {0} & {1} \\ {1} & {3} & {4} & {3} \\ {2} & {2} & {0} & {3} \end{array}\right) $$
a) Bestimmen Sie die Dimension des Zeilenraums und des Spaltenraums.

b) Geben Sie eine Basis \( B_{Z} \) für den Zeilenraum und eine Basis \( B_{S} \) für den Spaltenraum an.

c) Geben Sie eine Basis des Ergänzungsraums \( B_{Z}^{\prime} \) für den Zeilenraum zum \( Z_{5}^{4} \) und \( B_{S}^{\prime} \) für den Spaltenraum
$$ \text { zum } \mathbb{Z}_{5}^{5} \text { an. } $$

Kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen ?  

Comments

Was hast du schon selbst versucht?

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Bringe mal erst die Matrix auf Stufenform. Damit kann man das bestimmen.

Answer 1

Bestimme die Anzahl der linear unabhängigen Spaltenvektoren bzw. zeilenvektoren.

B) eine Basis deiner jeweiligen Räume ist die minimale Anzahl an linear unabhängigen Vektoren die den Raum erzeugt.  Also schmeiße die in a)  berechneten abhängigen Vektoren raus.

C) füge linear unabhängige einheitsvektoren hinzu.

Comments

Das musst du natürlich alles über dem gegeben en Raum machen.

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zu a) erhält man dort für beides 4?

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Korrektur: dim(Spaltenraum) = 5 und dim(Zeilenraum) = 4

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dim(S)=dim(Z)=3