Vektorraum von Quadratischen Abbildungen

Question

Aufgabe - Lineare Abbildungen:

Sei \( V=\left\{f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} \mid \exists a, b, c \in \mathbb{R} \forall x \in \mathbb{R} f(x)=a x^{2}+b x+c\right\} \) der Vektorraum aller quadratischen Funktionen und die Abbildung \( \varphi: V \longrightarrow \mathbb{R}^{3} \) durch \( \varphi(f)=(f(-1), f(0), f(1)) \) definiert

a) Zeigen Sie, dass \( \varphi \) eine lineare Abbildung ist und begründen Sie (z.B. durch Konstruktion der Umkehrabbildung \( \varphi^{-1} \) ), dass diese Abbildung bijektiv ist.

b) Sei die Abbildung \( \psi: V \longrightarrow \mathbb{R}^{4} \) durch \( \psi(f)=(f(-1), f(0), f(1), f(2)) \) definiert.

Bestimmen Sie eine Basis des Bildes \( \operatorname{Im} \psi \) (dafür muss man nicht viel rechnen, aber die Lösung sollte kurz begründet werden).

Comments

mache dir klar, dass \(V\) isomorph zum \( \mathbb{R}^3\) ist. Stelle die Funktionen \(f \in V\) als Vektoren dar. Dann kannst du ganz leicht eine darstellende Matrix für die lineare Abbildung \(\varphi\) aufstellen.

Gruß

Answer 1

Zu (a): Sei \(z=\begin{pmatrix}u\\v\\w\end{pmatrix}\in\mathbb R^3\). Zu zeigen ist: Es existiert eine eindeutig bestimmte quadratische Funktion \(f\in V\) mit \(\varphi(f)=z\), d.h es gibt eindeutig bestimmte \(a,b,c\in\mathbb R\) mit$$f(x)=ax^2+bx+c\text{ und }f(-1)=u,f(0)=v,f(1)=w.$$Das führt auf das LGS$$\qquad\large\begin{array}{|l|}\hline u=a-b+c\\v=c\\w=a+b+c \\\hline\end{array}$$welches genau eine Lösung hat.