Finden Sie Beispiele für lineare Abbildungen zwischen den K Vektorräumen

Question

vor mir liegt eine Aufgabe, die wahrscheinlich gar nicht so schwer ist. Aber irgendwie fällt mir dazu kein geeignetes Beispiel ein.

Hier die Aufgabe: Geben Sie Beispiele für Vektorräume V und lineare Abbildungen f ∈ Hom(V,V) an, sodass die jeweiligen Voraussetzungen erfüllt sind:

(I) Kern f ⊆ Im f, Kern f ≠ {0} und Im f ≠ V

(II) Im f ⊆ Ker f und Ker f ≠ V

(III) V = Ker f ⊕ Im f und Ker f ≠ {0} ≠ Im f 

Ich freue mich über eure Hilfe!

Answer 1

(I) Kern f ⊆ Im f, Kern f ≠ {0} und Im f ≠ V

f : R² ---> R² ;  f(x,y) = ( x-y ; x-y )

Kern f = { (t;t) | t ∈ R } = Im f

Passt auch bei (II).

(III) V = Ker f ⊕ Im f und Ker f ≠ {0} ≠ Im f 

f : R² ---> R² ;  f(x,y) = ( x ; 0 )

Kern f = { (0;t) | t ∈ R } 

Imf = { (t;0) | t ∈ R }

Jedes v = (x;y)  ∈ R²  ist in eindeutiger Weise

als Summe (x;0) + ( 0 ;y) darstellbar.