Zeige, dass es gleich ist: sin^2 (alpha) + sin^2 (beta) + sin^2 (gamma) - 2* cos(alpha)* cos(Beta)* cos(gamma) = 2.

Question

Seien Alpha, Beta und Gamma  die Innenwinkel eines Dreiecks.  Zeigen Sie, dass

Sin^2 (alpha) + sin^2 (beta) + sin^2 (gamma) - 2* cos(alpha)* cos(Beta)* cos(gamma) = 2.

Comments

Bitte normal große Schrift verwenden!

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EDIT: Schriftgrösse versuchte ich gerade zu vergrössern. Klappt inzwischen.

Gast nach dem Hochstellen bleibt die Schrift manchmal klein. Lade hoch und redigiere dann möglichst selbst in der Bearbeitungszeit noch. Danke.

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Hier das zu Zeigende im Formelsatz:
$$ \sin^2(\alpha) + \sin^2(\beta) + \sin^2(\gamma) - 2\cdot \cos(\alpha)\cdot \cos(\beta)\cdot \cos(\gamma) = 2 $$

@Lu: Versuch mal "ctrl+shift+s" bzw. "strg+umsch+s"!

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Wer kann diese Aufgabe?

Answer 1

Damit du endlich Ruhe gibst :

sin^2 a + sin^2 b + sin^2 (a+b) + 2*cos a * cos b * cos (a+b)
= sin^2 a + sin^2 b + (sin a * cos b + cos a * sin b)^2 + 2*cos a * cos b *(cos a * cos b - sin a * sin b)
= sin^2 a + sin^2 b + sin^2 a * cos^2 b + 2* sin a * cos b * cos a * sin b + cos^2 a *sin^2 b
+ cos^2 a * cos^2 b + cos^2 a * cos^2 b - 2* sin a * sin b * cos a * cos b
= sin^2 a + sin^2 b + cos^2 a * (sin^2 b + cos^2 b) + cos^2 b * (sin^2 a + cos^2 a)
= sin^2 a + cos^2 a + sin^2 b + cos^2 b = 2 .

Comments

Das ist ziemlich clever. Der Trick ist, c gekonnt zu eliminieren. Danke dafür.

Zum Glück gibt es hj2166!

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Das könntest du theoretisch auch als Antwort posten.