Beweis Arcustangensmetrik

Question

Hi,

"Zeigen Sie, dass durch d(x,y)=|arctan(x)-arctan(y)| eine Metrik auf IR definiert ist"

Die ersten beiden Kriterien, die eine Abbildung erfüllen muss, um eine Metrik zu sein, konnte ich ohne Probleme zeigen, das dritte Kriterium für die Fälle z=x und z=y auch. Aber wie argumentiere ich, dass für \(x \neq  z \neq  y\) folgendes gilt?

$$d(x,y) = |arctan(x)-arctan(y)|\quad \le \quad |arctan(x)-arctan(z)|+|arctan(z)-arctan(y)|\quad =\quad d(x,z)+d(z,y)$$

Answer 1

\(|\arctan(x)-\arctan(y)|=|\arctan(x)-\arctan(z)+\arctan(z)-\arctan(y)|\). Und jetzt Dreiecksungleichung für reelle Zahlen.

Comments

Diesen Trick mit der "Nullergänzung" sollte man immer parat haben. Der begegnet einem ziemlich oft. ;-)