Zeigen oder widerlegen Sie, dass die folgenden Abbildungen lineare Abbildungen sind.

Question

Aufgabe:

Zeigen oder widerlegen Sie, dass die folgenden Abbildungen lineare Abbildungen sind.

a) \( \varphi: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \varphi\left(\left(\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right)\right) \mapsto\left(\begin{array}{c}x y \\ x+y\end{array}\right) \)

b) \( \varphi: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \varphi\left(\left(\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right)\right) \mapsto\left(\begin{array}{l}x+1 \\ y-1\end{array}\right) \)

c) \( \varphi: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \varphi\left(\left(\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right)\right) \mapsto\left(\begin{array}{l}|x| \\ |y|\end{array}\right) \)

d) \( \varphi: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}, \varphi(x) \mapsto\|x\|_{2} \)

Ansatz/Problem:

Kann mir jemand sagen was dies ||x|||2 bei der Teilaufgabe b ist?

Comments

Meinst du Teilaufgabe d ? Üblicherweise ist das die euklidische Norm.$$\Vert x\Vert_2=\sqrt{{x_1}^2+\,\ldots+{x_n}^2}\text{, wobei }x=(x_1,\dots,x_n)^\mathsf T\in\mathbb R^n.$$

Answer 1

Bei dieser Aufgabe kannst du dir direkt die Definition der linearen Abbildung zunutze machen.

Sprich du prüfst die Homogenität und die Additivität der Abbildungen.

Das heißt für a):

$$ \varphi ((\begin{matrix} x \\ y \end{matrix})+(\begin{matrix} u \\ v \end{matrix}))\quad =\quad \left( \begin{matrix} (x+u) \\ (x+u) \end{matrix}+\begin{matrix} (y+v) \\ (y+v) \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} xy+xv+uy+uv \\ x+u+y+v \end{matrix} \right) $$

und wenn du dass dann noch für die andere Seite machst.

$$\varphi ((\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}))+\quad \varphi ((\begin{matrix} u \\ v \end{matrix}))\quad =\quad \left( \begin{matrix} (xy) \\ (x+y) \end{matrix} \right) +\left( \begin{matrix} (uv) \\ (u+v) \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} xy+uv \\ x+u+y+v \end{matrix} \right) $$

Dort sieht man dann ganz deutlich, dass beide Ergebnisse nicht gleich sind. Somit auch nicht homogen.