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Beweis der Bijektivität von \(f\) und dass \(g = f^{-1}\)
Um zu zeigen, dass unter den gegebenen Bedingungen f bijektiv ist und \(g = f^{-1}\) gilt, beginnen wir mit den Definitionen von Injektivität, Surjektivität und Bijektivität.
Eine Funktion \(f: X \rightarrow Y\) ist
-
injektiv, wenn für alle \(a, b \in X\), \(f(a) = f(b)\) impliziert, dass \(a=b\),
-
surjektiv, wenn für jedes \(y \in Y\) ein \(x \in X\) existiert, so dass \(f(x) = y\),
-
bijektiv, wenn sie sowohl injektiv als auch surjektiv ist.
Gegeben:
- \(f: X \rightarrow Y\) und \(g: Y \rightarrow X\),
- \(f \circ g = id_Y\) (Die Zusammensetzung von \(f\) und \(g\) ist die Identitätsfunktion auf \(Y\)),
- \(g \circ f = id_X\) (Die Zusammensetzung von \(g\) und \(f\) ist die Identitätsfunktion auf \(X\)).
Zu zeigen ist:
1. Dass \(f\) bijektiv ist.
2. Dass \(g = f^{-1}\).
Beweis für die Surjektivität von \(f\):
Angenommen, \(y \in Y\). Da \(f \circ g = id_Y\), für jedes \(y\) gibt es ein \(x = g(y)\), so dass \(f(g(y)) = y\). Dies zeigt, dass zu jedem \(y\) mindestens ein \(x\) existiert, für das \(f(x) = y\), was die
Surjektivität von \(f\) beweist.
Beweis für die Injektivität von \(f\):
Angenommen, es gibt \(a, b \in X\), für die \(f(a) = f(b)\). Da \(g \circ f = id_X\), impliziert das Folgendes:
\(
g(f(a)) = a, \quad g(f(b)) = b
\)
Da \(f(a) = f(b)\), gilt \(g(f(a)) = g(f(b))\), also \(a = b\), was die
Injektivität von \(f\) beweist.
Da \(f\) sowohl injektiv als auch surjektiv ist, ist \(f\)
bijektiv.
Beweis für \(g = f^{-1}\):
Da \(f\) bijektiv ist, existiert eine inverse Funktion \(f^{-1}\), und aus \(f \circ g = id_Y\) sowie \(g \circ f = id_X\) folgt, dass \(g\) die eindeutige Umkehrfunktion von \(f\) ist, also \(g = f^{-1}\).
Schlussfolgerungen, wenn nur eine der Bedingungen gilt:
- Wenn nur \(f \circ g = id_Y\) gilt, kann man schließen, dass \(g\) eine Rechtsinverse für \(f\) ist und dass \(f\) surjektiv ist. Ohne die Bedingung \(g \circ f = id_X\) kann man jedoch nicht automatisch schließen, dass \(f\) injektiv ist.
- Wenn nur \(g \circ f = id_X\) gilt, kann man schließen, dass \(g\) eine Linksinverse für \(f\) ist und dass \(f\) injektiv ist. Ohne die Bedingung \(f \circ g = id_Y\) kann man jedoch nicht automatisch schließen, dass \(f\) surjektiv ist.
In den Fällen, in denen nur eine der Zusammensetzungen die Identitätsfunktion ist, reichen die Informationen nicht aus, um die Bijektivität von \(f\) vollständig zu beweisen.
