Schnittpunkt der Geraden bestimmen und Bijektivität zeigen. F(x,y)=x^2 + y^2-1.

Question

Aufgabe:

a) Sei

\( F: \mathbb{Q}^{2} \rightarrow \mathbb{Q}, F(x, y)=x^{2}+y^{2}-1 \)

für alle \( x, y \in \mathbb{Q} . \) Sei \( p=\left(\begin{array}{c}-1 \\ 0\end{array}\right) . \) Berechnen Sie für alle \( t \in \mathbb{Q} \) den Schnittpunkt \( \left(\begin{array}{l}x(t) \\ y(t)\end{array}\right) \) der Gerade durch \( p \) mit Steigung \( t \) mit

\( \left\{\left(\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right) \in \mathbb{Q}^{2} \mid F(x, y)=0\right\}=: V(F) \)

und zeigen Sie, dass

\( \mathbb{Q} \rightarrow V(F) \backslash\{p\}, t \mapsto\left(\begin{array}{l} x(t) \\ y(t) \end{array}\right) \)

bijektiv ist.

(Steigung einer Gerade \( y=a x+b \) ist der Koeffizient \( a \) von \( x \).)

b) Finden Sie mit Hilfe von Aufgabe a alle \( (x, y, z) \in \mathbb{Q}^{3} \) mit \( x^{2}+y^{2}=z^{2} \).

Answer 1

Die Gerade geht durch (-1/0) und hat die Steigung t, also y = tx+t
Das V ist der Kreis um (0/0) mit r=1 und anschaulich ist klar, dass es für jede Steigung genau einen
Schnittpunkt außer dem Punkt (-1/0) gibt.
rechnerisch geht das nat. auch:
F(x,y) = 0 und   y= t*x+t
x^2 + (tx+t)^2 = 1
x^2 + t^2 x^2 + 2t^2 x + t^2 = 1

(1+t^2 ) * x^2 + 2t^2 x + t^2 - 1 = 0

gibt x = -1 oder x = (1-t^2) / ( 1+t^2) also gibt es immer zwei Schnittpunkte,

nämlich P(-1/0) und Q( (1-t^2) / ( 1+t^2)  ;  2t/ (t^2+1)  ).

also ist die zu untersuchende Abbildung t → ( (1-t^2) / ( 1+t^2)  ;  2t/ (t^2+1)  )

und die ist bijektiv, denn gleiche y-Koordinaten gibt es nur für gleiche t-Werte, oder

für t und 1/t aber da stimmen die x-Koordinaten nicht, also injektiv.

Und jeder Punkt (außer P) des Kreises kommt als Bild vor, kann man auch nachrechnen.

b) ???????????