Berechnungen in einem Tetraeder mit gleichseitigen Dreiecken als Seiten.

Question

Ich habe Probleme beim Lösen dieser Aufgabe, die uns heute in der Schule diktiert wurde, ich habe einige Varianten probiert, komme aber nicht weiter.

Aufgabe:

Ein Tetraeder ist eine dreiseituge Pyramide, bei der die Seitenkanten gleich groß sind. ( die Seitenflächen sind gleichseitige Dreiecke ). Ermittle das Volumen und die Oberfläche des Tetraeders mit der Seitenlänge a.

Danke für Antworten.

Answer 1

Hier mal eine Herleitung für die Oberfläche:

Formel für die Seitenflächen:

F = (a*h)/2

= (a * √(3) * a)/4 

Nun mal 4 rechnen.

O = √(3) * a^2

Comments

Wenn du die Volumenformel auch noch herleiten möchtest, kannst du die folgende Grafik von

https://de.wikipedia.org/wiki/Tetraeder#Regelm.C3.A4.C3.9Figes_Tetraeder benutzen. 

Die Basis dieses Dreiecks hat die Länge h von meiner obigen Antwort. Sie ist im Verhältnis 1:2 unterteilt. 

Für die Höhe H des Tetraeders gilt daher.

H^2 = a^2 - ((2/3)h)^2

Nun obige Resultate einfügen. 

Volumenformel eine Pyramide V = (1/3)* G*H

G: Grundfläche, also F von meiner Antwort.

H: Höhe 

Nun alles einsetzen und vereinfachen.

Answer 2

Hi Astrid,

ist die Seitenlänge a gegeben, benutze folgende Formeln:

O = a² * √3 

V =  (a³ / 12 )  *  √2 

Comments

Ich denke die Aufgabe ist es genau diese Formeln herzuleiten.

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Danke aber woher weiß ich was a ist?

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a (die Länge aller Kanten deines Tetraeders) kannst du als gegeben annehmen. Du sollst wohl die Formeln, die der Gast angegeben hat, begründen.

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Achso okay ich habe es verstanden, danke :)