Grenzwert der Funktion bestimmen: lim(√(x^2 + x+1)-√(x^2 + 5))

Question

Den Grenzwert der Funktion bestimmen:

\( \lim \limits_{x \rightarrow \infty}\left(\sqrt{x^{2}+x-1}-\sqrt{x^{2}+5}\right) \)

Ansatz/Problem:

Ich komme hier nie auf das richtige Ergebnis (1/2).

Ich habe immer mithilfe der 3. binomischen Formel erweitert, also Wurzel(x²+x-1)+Wurzel(x²+5).

Answer 1

√(x^2 + x - 1) - √(x^2 + 5)

= (√(x^2 + x - 1) - √(x^2 + 5))·(√(x^2 + x - 1) + √(x^2 + 5))/(√(x^2 + x - 1) + √(x^2 + 5))

= ((x^2 + x - 1) - (x^2 + 5))/(√(x^2 + x - 1) + √(x^2 + 5))

= (x - 6)/(√(x^2 + x - 1) + √(x^2 + 5))

= (1 - 6/x)/(√(1 + 1/x - 1/x^2) + √(1 + 5/x^2))

= 1/2

Comments

= (1 - 6/x)/(√(1 + 1/x - 1/x²) + √(1 + 5/x²))

Woran erkennt man, dass dies gleich 1/2 ist? Also ich kann es nicht weiter umformen, dass man auf 1/2 kommt

---

Setzt mal für x unendlich ein. Bruche die durch unendlich geteilt werden gehen dann gegen 0

= (1 - 6/x)/(√(1 + 1/x - 1/x²) + √(1 + 5/x²)) 

= (1 - 0)/(√(1 + 0 - 0) + √(1 + 0))

= 1/(√1 + √1)

= 1/2

Jetzt klarer?