Differenzierbarkeit Implikationen beweisen/widerlegen

Question

Aufgabe:

Es seien \( f, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) Funktionen. Zeigen oder widerlegen Sie:

(a) \( f \) ist stetig in \( x \in \mathbb{R} \Rightarrow f \) ist differenzierbar in \( x \)

(b) \( f \) ist differenzierbar mit \( f^{\prime}(x)>0 \), für alle \( x \in \mathbb{R} \quad \Rightarrow \quad h:=\frac{1}{f} \) ist differenzierbar mit \( h^{\prime}=\frac{1}{f^{\prime}} \)

(c) \( f \) ist differenzierbar in \( x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{f(x-h)-f(x)}{-h} \) existiert

(d) \( f \cdot g \) ist differenzierbar in \( x \in \mathbb{R} \quad \Rightarrow \quad f \) und \( g \) sind differenzierbar in \( x \)

Ansatz/Problem:

Bei der Aufgabe b) weiß ich gar nicht wie ich da anfangen soll.

Die Aufgabe c) erinnert mich stark an die Definition von Differenzierbarkeit nur mit -h anstatt h. Ich weiß trotzdem nicht wie ich hier weiter komme. Muss ich hier ein Gegenbeispiel finden oder zeigen dass es äquivalent ist für -h oder h das limit zu finden?

Kann ich bei der Aufgabe d) einfach sagen f(g(x)) = (sqrt(x))^2 = x differenzierbar in x=0, sqrt(x) nicht differenzierbar in x = 0?

Answer 1

b) Nimm f(x) = x^3 + x  dann ist f '(x) = 3*x^2 + 1 > 0 für alle x aus IR.
aber  1 / f(x) hat die Ableitung  - 1 / f ²(x)    *   f ' (x) .

c) das sit die Def. mit - h statt h. Da für alle h gegen 0 der Grenzwert existiert, ist es ok.

d) f(x) = |x| ist nicht diffb. bei x=0  aber das Produkt  |x| * |x| = x^2  schon.

Comments

Sicher, dass der Operator bei der d) eine Multiplikation ist und keine Konkatenation?

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Sieht bei mir wie ein Malpunkt aus.