Aufgabe:
Sei
\( V=\left\{\left(\begin{array}{ll} a_{1} & a_{2} \\ a_{2} & a_{3} \end{array}\right) \mid a_{1}, a_{2}, a_{3} \in \mathbb{R}\right\} \)
der Vektorraum der reellen symmetrischen \( 2 \times 2 \)-Matrizen und sei
\( \langle\cdot, \cdot\rangle_{3}: V \times V \rightarrow \mathbb{R} ; \quad\left\langle\left(\begin{array}{ll} a_{1} & a_{2} \\ a_{2} & a_{3} \end{array}\right),\left(\begin{array}{ll} b_{1} & b_{2} \\ b_{2} & b_{3} \end{array}\right)\right\rangle_{3}=a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}+2 a_{3} b_{3} \)
ein Skalarprodukt von \( V \). Berechnen Sie mit dem Verfahren von Gram-Schmidt aus der Basis
\( \mathcal{B}=\left\{\left(\begin{array}{ll} 0 & 2 \\ 2 & 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 0 & 2 \end{array}\right),\left(\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{array}\right)\right\} \)
von \( V \) eine Orthonormalbasis von \( V \) bzgl. des Skalarproduktes \( \langle\cdot, \cdot\rangle_{3} . \)
