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Ich habe diese Aufgabe. Und weiss nicht genau welche schrittte ich durchführen muss. Ich muss zuerst zeigen , dass die T1 T2 T3 und T4 linear unabhängig sind . Und was kommt danach? Ich habe versucht darüber zu lesen  aber es hat  mich sogar mehr verwirrt.  Also was ist  Schritt 2?

Sei \( \left(\mathbb{R}_{\leq k}[x],+, \cdot\right) \) der Vektorraum der Polynomen vom Grad \( \leq k, \)
wobei \( \mathbb{R}_{\leq k}[x]=\left\{a_{k} x^{k}+a_{k-1} x^{k-1}+\ldots+a_{1} x+a_{0}: a_{i} \in \mathbb{R} \text { für alle } i \in\{0,1, \ldots, k\}\right\} \)

a) Welche der folgenden Menge von Vektoren in \( \mathbb{R}_{\leq 2}[x] \) stellen eine Basis des \( \mathbb{R}_{\leq 2}[x] \) dar.
$$ \begin{array}{ll} {T_{1}=\left\{x^{2}+1, x-1\right\},} & {T_{2}=\left\{x^{2}, 1-x, 1, x^{2}-x-1\right\}} \\ {T_{3}=\left\{x^{2}+1, x^{2}-x, x-1\right\},} & {T_{4}=\left\{(x+1)^{2}, x+1,1\right\}} \end{array} $$

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Dein Vektorraum hat die Dimension 3,  denn z.B. ist 1,  x  ,  x^2 eine Basis.

Dann ist ja klar, dass alle Mengen mit drei lin. unabhängigen
Polynomen von R<=2[x] je eine Basis bilden.
also T1 nicht, weil nur 2 Stück
T2 nicht weil 4 Stück
T4 ist ok, die sind offenbar lin. unabh.
bei T3 musst du mal rechnen ob sie lin. unabh. sind.
Dann ist es eine Basis sonst nicht.

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also lineare Unabhängigkeit nachzuweisen ist genug? Ich habe gelesen , dass 2 Schritt muss etwas über EZS sein (also beweisen , dass  R<=2[x] = span von Polynomen? Ist das nötig? und wie sieht es denn aus ( wir haben in Tutorium dafür gar kein Beispiel bekommen:/)

z.B mein T3  und T4 sind  lin. unab und haben je 3 Polynome. Wie kann ich überprüfen ob es ein Basis ist?

Bei Vektorräumen endlicher Dimension

gilt immer:

Alle Basen haben gleich viele Elemente.

und :  Eine Menge von Vektoren bildet eine

Basis, wenn

entweder

sie ein EZS sind und lin. unabhängig

oder

sie ein EZS sind und die Anzahl gleich der Dim

oder

sie lin. unabh. sind und die Anzahl gleich der Dim

Danke, dann für T3 und T4 soll ich zeigen dass es EZS sind, wie sieht das Verfahren allgemein aus?

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