0 Daumen
561 Aufrufe


Ich habe ein Problem mit der Aufgabe :(

Beweise für x,y>0 die Ungleichung

ln(x)+ln(y)2ln(x+y2)\frac { \ln { (x) } +\ln { (y) } }{ 2 } \le \ln { \left( \frac { x+y }{ 2 } \right) }

Hinweis : (xy)2\left( \sqrt { x } -\sqrt { y } \right) ^2

Ich bedanke mich bei Rückmeldung :)
Avatar von

1 Antwort

0 Daumen

(ln(x)  + ln(y) )  / 2  = ln (x*y) / 2 = ln ( wurzel(xy)  )

und       ln ( wurzel(xy)  )    <=        ln (   (x+y) / 2   )

ist wegen der strengen Monotonie von ln gleichbedeutend mit

wurzel(xy)   <=    (x+y ) / 2

2 wurzel(xy)  <=  x + y 

wegen x,y positiv ist  x= wurzel(x) 2   und  y= wurzel(y) 2

und    ( wurzel(x)  -  wurzel(y)  )  2    >= 0   da Quadrate nie negativ sind

x  -  2wurzel(xy)  + y  >= 0

also auch       2 wurzel(xy)  <=  x + y    q.e.d.

Avatar von 289 k 🚀

Vielleicht noch etwas einfacher

2 √ ( x y )  <=  x + y    | quadrieren
4 * x * y <= x2 + 2xy + y2
0 <= x2 - 2xy + y2
0 <= ( x - y )2  
q.e.d.

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage