Grenzwerte und Logarithmus

Question

Ich habe ein Problem mit der Aufgabe :(

Beweise für x,y>0 die Ungleichung

$$\frac { \ln { (x) } +\ln { (y) }  }{ 2 } \le \ln { \left( \frac { x+y }{ 2 }  \right)  } $$

Hinweis : $$\left( \sqrt { x } -\sqrt { y }  \right) ^2$$

Ich bedanke mich bei Rückmeldung :)

Answer 1

(ln(x)  + ln(y) )  / 2  = ln (x*y) / 2 = ln ( wurzel(xy)  )

und       ln ( wurzel(xy)  )    <=        ln (   (x+y) / 2   )

ist wegen der strengen Monotonie von ln gleichbedeutend mit

wurzel(xy)   <=    (x+y ) / 2

2 wurzel(xy)  <=  x + y 

wegen x,y positiv ist  x= wurzel(x) ^2   und  y= wurzel(y) ^2

und    ( wurzel(x)  -  wurzel(y)  )  ^2    >= 0   da Quadrate nie negativ sind

x  -  2wurzel(xy)  + y  >= 0

also auch       2 wurzel(xy)  <=  x + y    q.e.d.

Comments

Vielleicht noch etwas einfacher

2 √ ( x y )  <=  x + y    | quadrieren
4 * x * y <= x^2 + 2xy + y^2
0 <= x^2 - 2xy + y^2
0 <= ( x - y )^2  
q.e.d.