Wie berechnet man den Flächeninhalt einer Menge?

Question

  Aufgabe \( 2:(2+2 \text { Punkte) Man erstelle eine Skizze der folgenden Normalbereiche } M \subseteq \)
\( \mathbb{R}^{2} \) und bestimme deren Flächeninhalt:
(a) \( M=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} |-1 \leq x \leq 1, \frac{1}{2}(x+1) \leq y \leq 2-x^{2}\right\} \)
(b) \( M=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} | 0 \leq y \leq \frac{\pi}{2}, \cos (y) \leq x \leq \frac{\pi}{2}-y\right\} \)

Ich habe hir eine menge [unter (a)] und ich muss den Flächeninhalt berechnen. Also das ist eine menge om Typen 2, und ich weiß ich mus irgendetwas integrieren, Nur leider weiß ich nicht jetzt was ich integrieren muss und was die obergrenze und was die untergrenze ist. Ist jetzt die Untergrenze -1, die obergrenze 1/2 (x+1) und ich muss (2-x²) integrieren??

Answer 1

~plot~1/2*(x+1) ; 2-x^2~plot~

weil die Fläche zwischen den Graphen der beiden

Funktionen über dem Int. von -1 bis 1 liegt:

also Integral von -1 bis 1 über (2-x^2) - (1/2)*(x+1) dx

und das gibt als Stammfkt

-1/3 x^3 - 1/4 x^2 + 3/2 x

also von -1 bis 1 ist das 7/3

Comments

Den 2. Bereich spiegelst du am besten an der Winkelhalb. des 1. Quadranten, dann hast du
0 ≤ x ≤ pi/2  und  cos(x) ≤ y ≤ pi/2 - x . Dann sieht das so aus:
~plot~cos(x) ; pi/2-x~plot~
und dann wieder Integral über die Differenzfunktion.

Irgendwie ist das Bild vom Kommentar jetzt bei der Antwort.

Answer 2

d(y) = (pi/2 - y) - COS(y)

D(y) = - SIN(y) - y^2/2 + pi·y/2

D(pi/2) - D(0) = (- SIN((pi/2)) - (pi/2)^2/2 + pi·(pi/2)/2) - (- SIN(0) - 0^2/2 + pi·0/2) = pi^2/8 - 1 = 0.2337