Ableiten und erkennen von Produktregel und Kettenregel?

Question

habe hier folgende Gleichung die ich nur 1 mal ableiten soll und soweit es geht zusammenfassen soll

f(x) = 1/2x + √(9-x²)        : Summenregel

f(x)' = 1/2  +   1 / ( 2* √(9-x²) )   soweit erstmal verstanden aber genau hier kommt (9-x²)    : Produktregel o. Kettenregel wäre meine erste Frage.

und die zweite Frage weswegen  kommt (9-x²) dahin. Somit stimmt doch die Vorgehensweise der Summenregel nicht mehr ?

Answer 1

f(x) = 1/2x + √(9-x²)  

Die Summanden können getrennt abgeleitet werden.

Ableitung der Wurzel.
Entweder
allgemein
( √ term ) ´ = ( term ´ ) / ( 2 * √ term)
term = 9-x²
term ´ = -2x
[ √(9-x²) ] = ( -2x ) /  ( 2 * √(9-x²) )
[ √(9-x²) ] = -x /  (√(9-x²)

oder
als Potenzfunktion wie in der anderen Antwort.

Insgesamt
f(x) = 1/2x + √(9-x²)  
f ´( x ) = 1/2  - x /  (√(9-x²)

Ein weiteres Zusammenfassen dürfte sich nicht lohnen.

Answer 2

√(9-x^2) = (9-x^2)^{1/2}

Ableitung: 1/2*(9-x^2)^{-1/2}* (-2x) = -x/√(9-x^2)