within und between varianz, standardabweichung

Question

ich habe folgende Aufgabe:

Das Durchschnittseinkommen im Ostteil eines Landes sei x1=2500, das im Westteil x2=3000.

Im Ostteil streuen die Einkommen mit der Standardabweichung s1=500,

im Westteil mit der Standardabweichung s2=1000.

Im Ostteil des Landes leben 16Mio Personen, im Westteil 64Mio.

a) Berechnen Sie das Durchschnittseinkommen des Landes. (gerechnet: 16/80 * 2500 + 64/80 * 3000 = 2900)

b) Berechnen Sie die Varianz der Einkommen im gesamten Land.

c) Welcher Anteil der Gesamteinkommensvarianz ist auf die Einkommensunterschiede zwischen den beiden Landesteilen zurückzuführen?

Bei a und b komme ich nicht weiter,

würde mich über Unterstützung freuen! :-)

Danke

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Answer 1

Hi,
zu (a) wenn man \( r = 2 \) Gruppen hat mit jeweils \( n_i \) Elementen und für jede Gruppe der Einzelmittelwert \( \overline{x}_i \) bekannt ist, dann berechnet sich der Gesamtmittelwert \( \overline{x} \) zu
$$ \overline{x} = \frac{1}{\sum_{i=1}^r n_i} \sum_{i=1}^r \sum_{k=1}^{n_i} x_{ik} = \frac{1}{\sum_{i=1}^r n_i} \sum_{i=1}^r n_i \overline{x_i} $$
Das entspricht Deiner angegebenen Formel für den Mittelwert.

zu (b)
Wenn \( s^2 \) die quadratische Streuung der Gesamtmenge ist dann gilt
$$ s^2 \sum_{i=1}^r n_i = \sum_{i=1}^r \sum_{k=1}^{n_i} \left( x_{ik} - \overline{x} \right)^2 = \sum_{i=1}^r \sum_{k=1}^{n_i} \left( x_{ik}-\overline{x_i}+\overline{x_i}-\overline{x} \right)^2  $$ und das ist
$$ \sum_{i=1}^r \sum_{k=1}^{n_i} \left( (x_{ik}-\overline{x_i})^2 +2(x_{ik}-\overline{x_i})(\overline{x_i}-\overline{x})+(\overline{x_i}-\overline{x})^2 \right)  $$
Für den mittleren Term gilt \(  \sum_{k=1}^{n_i}(x_{ik}-\overline{x_i})=0 \) also ergibt sich
$$ s^2 \sum_{i=1}^r n_i = \sum_{i=1}^r \sum_{k=1}^{n_i} \left( (x_{ik}-\overline{x_i})^2 +(\overline{x_i}-\overline{x})^2 \right) = \sum_{i=1}^r n_i \sigma_i^2 + \sum_{i=1}^r n_i (\overline{x_i}-\overline{x})^2 $$ also


$$ s^2 = \frac{1}{\sum_{i=1}^r n_i} \left( \sum_{i=1}^r n_i \sigma_i^2 +\sum_{i=1}^r n_i (\overline{x_i} - \overline{x})^2  \right)   $$

Für Dein Beispiel folgt mit \( r = 2, n_1 = 16, n_2 =64, \overline{x_1}=2500, \overline{x_2}=3000, \sigma_1=500, \sigma_2=1000 \) und aus (a) \( \overline{x} = 2900 \) das gilt
$$ s^2 = 943.398  $$

Anschaulich ausgedrückt bedeutet das, die Gesamtvarianz kann man aus den Einzelvarianzen und den Varianzen zwischen den einzelnen Gruppen zu berechnen.