Gradienten, Hessematrix und relativen Extrema

Question

Hey :)

Die gegebene Funktion lautet: f: {(x,y,z) element R³ | y>0} -> R, f(x,y,z,)= 2x²-xz²+y³+z²-3y

a) Bestimmen sie den Gradienten.

b) Bestimmen sie die Hessematrix

c) Bestimmen sie alle relativen Extrema

Stimmt die Lösung für a) & b) soweit?

Leider weiß ich nicht genau wie ich auf die relativen Extrem mit der Hessematrix komme oder muss ich dafür den Gradienten benutzen?

Liebe Grüße :)

Answer 1

Zuerst alle stationären Stellen suchen : Nabla = 0

Dann diese in die HessMat einsetzen und gucken, ob da was verbindliches rauskommt.

Comments

Als GLS habe ich ja dann:

I   4x-z²=0

II  3y²-3=0

III -2xz+2z=0

Die II kann ich ja direkt nach y auflösen und erhalte für y=1.

Aber wie mache ich das jetzt für x und z?

Wenn ich die I nach x umstelle und dann in die III einsetze. Komme ich nicht wirklich weiter da ich nicht weiß wie ich die Geichung dann auflösen muss.

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II  : $$ 3y     ^2-3=0   $$

$$ 3y     ^2=3   $$

$$ y     ^2=  1 $$

$$ y_{1,2}     = \pm \sqrt 1 $$

$$ y_{1}     = +1 $$

$$ y_{2}     = -1 $$

und schon haben wir zwei Üpsilöne und nicht nur eines !!!

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III: $$ -2xz+2z=0 $$

$$ 2z \cdot ( -x+1)=0 $$

Nullproduktsatz:

a: $$ 2z =0 $$

$$ z =0 $$

b:$$  -x+1=0 $$

$$  x=1 $$

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Somit hab ich einen Punkt (1,1,0) und (1,-1,0), wenn ich das jetzt in die Hessematrix einsetze und die Determinante berechne erhalte ich ja für beide den Wert 0.

Somit liegen keine relativen Extrema vor bzw. ich kann darüber keine Aussage machen, oder?

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wollen wir nicht vorher noch nachsehen, welche stationären Stellen uns die Gleichung I erschliesst ?

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I und III umstellen und gleichsetzen?

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... oder die möglichen Werte, die wir aus III bereits gewonnen haben, nacheinander in I einsetzen - viel weniger Arbeit, oder?

Answer 2

f  (  x  ,  y  ,  z  )  := 2  x  ²  -  x  z  ²  +  y  ³  +  z  ²  -  3  y      (  1  )

     
    f _x   (  x  ,  y  ,  z  )  =  4  x  -  z  ²  =  0  ===> x  =  z  ²  /  4     (  2  )

     Wolfram spricht von einem " parabolischen Zylinder "

    
    f _y   (  x  ,  y  ,  z  )   =  3  (  y  ²  -  1  )  =  0    (  3a  )

                              y1  =  (  -  1  )  ;  y2  =  1        (  3b  )

   
  f _z   (  x  ,  y  ,  z  )  =  2  z  (  1  -  x  )  =  0   (  4a  )

                              x3  =  1  ;  z4  =  0                (  4b  )

 

     Insbesondere mit ( 2 ) ergibt das folgende Kombinationen:

      P1  =  (  1  |  -  1  |  -  2  )  ;  P2  =  (  1  |  -  1  |  2  )        (  5a  ) 

         P3  =  (  1  |  1  |  -  2  )  ;  P4  =  (  1  |  1  |  2  )       (  5b  ) 

         P5  =  (  0  |  -  1  |  0  )  ;  P6  =  (  0  |  1  |  0  )         (  5c  )

      Jetzt Hessematrix

            f _xx   (  x  ,  y  ,  z  )  =  4         (  6a  )

            f _xy   (  x  ,  y  ,  z  )  =  0          (  6b  )

           f _xz   (  x  ,  y  ,  z  )  =  -  2  z     (  6c  )

           f _yy   (  x  ,  y  ,  z  )  =  6  y     (  6d  )

          f _yz   (  x  ,  y  ,  z  )  =  0          (  6e  )

         f _zz   (  x  ,  y  ,  z  )  =  2  (  1  -  x  )        (  6f  )

2        0             - z

     H  =                 0      3 y             0                      (  7  )

                           - z       0             1 - x       

Das einzigen Nebendiagonalelemente (  NDE )    ist ( 1 ; 3 ) ; deshalb beginnen wir nit P5;6

H  (  P5;6  )  =  diag  (  2  ;  -/+  3  ;  1  )     (  8  )

D.h. P5 ist ein Sattelpunkt   ( SP )  und P6  ein Minimum .

Nun seh ich grad - die Diagonalisierung einer 3 X 3 Matrix würden die euch nie zumuten. Spalte 2 ist doch Eigenvektor zum Eigenwert 3 y ; und Spalte 1 und 3 mischen nicht mit 2 . Das Problem zerfällt; wenn wir schon ausnutzen, dass x = 1 für P1;2;3;4 , dann hast du für ein geeignetes k , dessen genauer Wert uns nicht einmal zu intressieren braucht, die 2 X 2  Blockmatrix

2          k

H  '  =            k         0            (  9  )

Man sieht sofort  det ( H ' )  = - k ²  <  0  ===>  zwei entgegen gesetzte Eigenwerte ====>  P1;2;3;4  sind   SP

Besonders edel lässt sich das übrigens mittels der Technik der ===> Paulimatrizen zeigen . Jede  Hermitesche 2 X 2 Matrix lässt sich darstellen als Linearkombination der Einheitsmatrix mit den beiden Paulimatrizen S1 und S3 .

H  '  (  k  )  =  1  +  S3  +  k  S1       (  10a  )

Wenn du das Folgende raffst,  hast du bereits die ===> Kopenhagener Deutung der QM verstanden. Du musst immer unterscheiden zwischen MessWERT  und MessGRÖSSE  ===> Observable . Messgrößen sind ( Hermitesche ) Matrizen und ( mögliche ) Messwerte ihre Eigenwerte . So repräsentiert etwa S1 die Spinkomponente in x-Richtung  so wie S3 in z-Richtung.   Beide Komponenten kannst du auch vektoriell addieren. Zugegeben; das klingt wirr: Matrizen vektoriell addieren ...  die Resultierende in ( 10a ) wäre etwa  eine verallgemeinerte Paulimatrix , der Spineinheitsvektor S

S3  +  k  S1  =:  S  sqr  (  1  +  k  ²  )       (  10b  )

Eigenwerte von S sind wieder Plus/Minus Eins; das ist ja gerade der Witz . Sonst könntest du ja S nicht als Einheitsvektor ansprechen.

" Hätte das nicht der Alte über den Wolken erdacht; menschliche Fantasie hätte nie hingereicht. "

Neugierig geworden auf diesen Formalismus? Umso besser. Da jedoch jeder Operator mit der Einheitsmatrix vertauscht, bekommst du für die Eigenwerte in ( 10ab )

E1;2  (  k  )  =  1  +/-   sqr  (  1  +  k  ²  )       (  10c  )

Da aber die Wurzel grundsätzlich größer Eins ist, gibt es EINEN NEGATIVEN EIGENWERT  .