Analysis übungsaufgabe fürs mündliche Abitur

Question

bin neu im Forum, deshalb weiss ich nicht ganz wie das hier abläuft. Ich habe eine Übungsaufgabe für mein Mündlichesabitur in Mathe erhalten und komme gar nicht mehr weiter und ich weiss noch nicht mal ob ich die bisherigen Aufgaben richtig gelöst habe und ob der Rechenweg der richtige ist, würde mich freuen wenn ihr ergänzungen, verbesserungsvorschläge und die restlichen lösungen + Rechenweg haben könntet. Ich bin schon fast am verzweifeln keiner kann mir helfen und ich weiss nicht ob ich mich richtig vorbereite und habe angst das ich alles nun falsch lerne.... Sorry für die Rechtschreibfehler hab jetzt nicht besonders darauf geachtet.

Aufgbe:

Funktionenschar
Gegeben ist die Funktionenschar:
$$ f_{a}(x)=\frac{\mathrm{e}^{-0,5 x}+\mathrm{e}^{0,5 x}}{a}+0,2 \cdot x^{3} \quad \text { mit } a \in \mathbb{R}^{+} $$
Aufgabe 1: Führen Sie eine komplette Kurvendiskussion für diese Schar durch. Beachten Sie dabei, dass Sie zwar alle wichtigen Punkte abarbeiten können, aber manches nur näherungsweise oder argumentativ bearbeitet werden kann. Untersuchen Sie speziell auch Fälle mit \( a<0,5 \)

Aufgabe 2: Begrinden Sie, warum es Nullstellen für \( a \geq 1 \) geben muss, für \( a<0,3 \) aber nicht geben kann.
Aufgabe 3: Ermitteln Sie näherungsweise die Nullstellen für den Fall \( a=0,5 \)
Aufgabe 4: Begründen Sie, dass keine Funktion der Schar im ersten Quadranten einen Wendepunkt besitzen kann.
Aufgabe 5: Bestimmen Sie den Parameter a für den Fall, dass...
a) \( \ldots \) an der Stelle \( x_{\mathrm{E}}=-10 \) ein Extremum liegt,
b) \( \ldots \) an der Stelle \( x_{W}=-2 \) eine Wendestelle liegt.
Stichworte
Differenzialrechnung - speziell Ketten- und Summenregel - , Näherungsverfahren, Symmetrie, Definitionsbereiche

Comments

Überprüfe mal die 1.Abl. !

Answer 1

f ( x ) =( e^{-0.5*x} + e^{0.5*x} ) / a  + 0.2 * x^3

Hier einmal der Graph für a = 0.5

~plot~  ( e^{(-0.5*x)} + e^{(0.5*x)} ) / 0.5  + 0.2 * x^3 ~plot~

Überlicherweise fängt man bei der Kurvendiskussion mit dem Def-Bereich an.
D = ℝ
Dann die Schnittpunkt mit den Achsen
f ( 0 ) = 2 / a
( 0 | 2 / a )

An die Nullstellen, Extremwerte, Wendestellen kann man sich
wohl nur herantasten.

Ich will jetzt aber erst einmal fernsehen,
beschäftige mich aber dami.

Insgesamt halte ich die Aufgabe doch für recht kompliziert.

Comments

WOWWW  dankkeee ich warte auf deine nachricht hahaha

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Die Aufgaben erscheinen mir sauschwer.
Dürft ihr einen graphischen Taschenrechner
benutzen ?


Ich habe mir zunächst einmal das Verhalten an den Rändern
der Funktion angschaut. x-> unendlich = unendlich.
x -> -unendlich auch unendlich da die e-Funktion schneller gegen
unendlich geht als die Potenzfunktion x^3

Dann kommen die 3 Ableitungen.

Wie man aus der Funktion die Nulstellen bestimmen kann weiß
ich nicht.

Wird bei der ersten Ableitung x = 0 eingesetzt f ´( 0 ) = 0 und somit
ein Punkt mit waagerechter Tangente. Dies gilt für die gesamte
Schar.

4.)
2.Ableitung = 0
0.25 * a * ( e^{-0.5x} + e^{0.5x} ) + 1.2 x = 0
0.25 * a * ( e^{-0.5x} + e^{0.5x} ) = - 1.2 x
( e^{-0.5x} + e^{0.5x} ) = - 1.2 x  * ( 0.25 * a )
Die linke Seite ist immer postiv.
Dann muß auf der rechten Seite x negativ sein.

5.) kommt gleich noch.
Symmetrie kann ich auch noch machen.

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Hier meine weiteren Berechnungen

zu 5.) ich finde es komisch das keine ganzen Zahlen herauskommen.

Außerdem finde ich es komisch das ich insgesamt so wenig
beantworten konnte.

Ich finde die Aufgabe ungemein schwer.

Vielleicht kann jemand anderes noch etwas zur Aufgabe sagen.

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<<  Wie man aus der Funktion die Nulstellen bestimmen kann weiß
ich nicht.

In Cosmiq haben sie mir die Lambertsche W-Funktion " gelernt " Hier muss ich sie euch beibringen.

Daraus magst du ersehen, WIE niedrig das Niveau in diesem Forum ist.

Dies ist eine Übung in W von der ersten bis zur letzten Zeile; sonst hätte es quasi keinen Sinn.

<<  Wird bei der ersten Ableitung x = 0 eingesetzt f ´( 0 ) = 0 und somit
ein Punkt mit waagerechter Tangente. Dies gilt für die gesamte
Schar.   ( !!!!!!! )

Wie viel Punkte Abzug gibt das?

Weil mir hat mal einer geschrieben, du müsstest erst die Nullstellen der ersten Ableitung berechnen und hernach die Grobskizze.

Ohne meine Kenntnisse in W-Funktion hätte ich das Minimum bei x > 0 glatt übersehen; aber wie kommst du zu deiner abenteuerlichen Ferststellung?

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Was haben wir herausgefunden
Definitionsbereich
Verhalten an der Rändern des Definitionsbereichs
Schnittpunkt mit der y-Achse
3 Ableitungen
1 Punkt mit waagerechter Tangente ( 0 | 2 / a )
Aufgabe 4 bearbeitet
Aufgabe 5 bearbeitet
Symmetrie bearbeitet

Es fehlen die Berechnungen der Nullpunkte, Extrempunkte,
Wendepunkte, Monotonie, Krümmung. Alles das was man
bei einer Kurvendiskussion machen sollte.

Dies ist eine sauschwere Abitur-Leistungskurs Aufgabe.

Answer 2

Lambertsche W-Funktion. Du das ist vom Denkstil auch nicht eben tückischer als die Mitternachtsformel; deine Nullstellen gehen LMNTar .

Doch hier empfiehlt es sich, ausnahmsweise  mit etwas anderem anzufangen - Asymptotik. Für x ===> ( + °° ) verebbt die e-Funktion bei ( + 0 ) ; f geht gegen Unendlich wie x ³ Was passiert für u := - x ; x > 0 ? Der Typ der Funktion

 

       f  (  u  ;  A  , B  )  =  A  exp  (  u  )  -  B  u  ³    (  1a  )

                                   A  =  ( 2 / a )  cosh  (  1/2  )  ; B  =  1/5          (  1b  )

 

       Die e-Funktion klammern wir aus

f  (  u )  =  [  A  -  B  u  ³   exp  (  -  u  )  ]  exp  (  u  )     (  1c  )

 

    Die eckige Klammer ist beschränkt, weil die e-Funktion jedes Polynom unterdrückt.  Mit   A > 0  geht f abermals asymptotisch gegen ( + °°  )  wie die e-Funktion - wir erwarten ein Minimum . Damit drängen sich qualitative Verwandtschaften zur Parabel auf; auch hier gibt uns ja die W-Funktion eine Diskriminante, wann du null, eine oder zwei Knoten hast. Ja die Analogie reicht sogar noch weiter; genau wie du eine quadratische Gleichung durch die  quadratischeErgänzung löst, besteht die Taktik hier immer darin, dass du ein  " vollständiges W " zusammen bekommst - das Internet strotzt nur so von Übungsbeispielen. Im Grunde ist das alles auch gar nicht schwer.

-  x  ³  exp  (  x  )  =   A  /  B    |     ^ 1/3         (  2a  )

-  x  exp  (  1/3  x  )  =  (  A  /  B  )  ^ 1/3     |    :  -  3      (  2b  )

1/3  x  exp  (  1/3  x  )  =  -  1/3  (  A  /  B  )  ^ 1/3    |   W     (  2c  )

x1;2     =  -  3  |  W1;2  [ -  1/3  (  A  /  B  )  ^ 1/3  ]  |      (  2d  )

Anmerkung 1 . Da das Argument der W-Funktion negativ ist, hast du zwei Lösungen W1;2 analog " Plus/Minus Wurzel "

Anmerkung 2. Ich halte dafür, dass es unzulässig ist, Minuszeichen zu verstecken (  vergleiche ( 1a ) ) Du musst daher schreiben " Minus  W Betrag "

Wir sind jetzt so weit, dass wir uns deiner Aufgabe 2 zuwenden können. Lassen wir doch mal a ===> ( °° ) Dann geht in ( 1b )  A gegen Null; d.h. der relative Einfluss der e-Funktion verschwindet gegenüber dem Polynomterm x ³  Wir erwarten, dass die Nullstelle immer mehr in den Ursprung rückt; und genau dieses Verhalten zeigt ja W2 auch  in ( 2d ) Für A  ===>  0  geht W2 gegen ( - 0 )  Andererseits divergiert ja W1 nach ( - °° ) ; anschauliche Deutung. Je mehr die e-Funktion unterdrückt wird, desto tiefer sinkt f ( min ) ab; desto weiter rücken x1 und  x ( min ) nach Links, bis endlich wieder die e-funktion die Oberhand gewinnt.

Die Wurzel aus negativen Zahlen kannst du nicht ziehen; und genau so gibt es hier eine Grenzbedingung für reelle Nullstellen. In ( 2d ) muss erfüllt sein

1/3  (  A  /  B  )  ^ 1/3  <  =  1 / e  ===>  A / B  <  =  27 / e ³  =  1.344   (  3a  )

cosh  (  1/2  )  =  1.128    (  3b  )

A / B  =  (  10 / a  )   cosh  (  1/2  )  <  =  27 / e ³  ===> a  >  =  11.28  / 1.344  =  8.393    (  3c  ) 

Wieder anschaulich gedenkt. Wenn du den Einfluss der e-funktion unendlich verstärkst, wird irgendwann f ( min ) > 0 

Aufg 3     Prüf bitte nochmal nach, ob iv h mich irgendwo verrechnert habe; a = 1/2 geht doch gar nicht. Unter Ziffer 1 hat er es auch wieder. Wenden wir uns aber jetzt den Extrema zu .

f  '  (  x  )  =  3  B  x  ²  -  A  exp  (  -  x  )  =  0   |    sqr     (  4a  )

x  exp  (  1/2  x  )  =  sqr  (  A / 3 B )    (  4b  )

x  (  min  )  =  2  W  [  1/2  sqr  (  A / 3 B )  ]    (  4c  )

Es bleibt aufregend; oder muss ich mich entschuildigen? Jede KD beginne ich immer mit der Grobskizze, damit ich überhaupt erst mal einen Plan habe. In ( 4c ) kommt nun ein völlig unerwarteter Punkt; doch überlegen wir.

Wegen der e-Funktion besitzt f ( x ) bei x = 0 eine fallende Tangente; damit folgt aber aus der Asymptotik, dass wir für x > 0 ein Minimum erwarten. Aber wie müssen wir dann links anschließen? Wenn es Nullstellen gibt,  offenbar ( von Rechts nach Links ) erst ein Maximum, dann x2 und dann das Minimum .

Der Witz an der Sache ist: Du kannst ja in ( 4b ) auch die negative Wurzel ziehen.    

x  (  min / max  )  =  -  2  |  W1;2  [  -  1/2  sqr  (  A / 3 B )  ]  |    (  5a  )

Hier das ist voll witzig; hier sind Genies gefordert wie ich. Ich meine - siehst du überhaupt schon das Problem?

Ich bin bescheiden; ich halte es schlicht für Aussichtslos, die geforderte Ungleichung elementar nachzuweisen

x1  <  x1  (  min  )  <  x2  <  x  (  max  )  <  0  <  x2  (  min  )     (  5b  )

Mit Quadratwurzeln kannste das echt machen; aber über diese W-Funktion sind einfach keine gescheiten Abscjätzungen bekannt. Aaber. Wir hatten gesagt,  in ( 2d ) hast du den Grenzfall

A / B  <  =  27 / e ³ ===>  x1;2  =  (  -  3  )     (  5c  )

Diese doppelte Nullstelle muss aber mit x1  (  min  ) zusammen fallen .   ( max Zeichen )