Lambertsche W-Funktion. Du das ist vom Denkstil auch nicht eben tückischer als die Mitternachtsformel; deine Nullstellen gehen LMNTar .
Doch hier empfiehlt es sich, ausnahmsweise mit etwas anderem anzufangen - Asymptotik. Für x ===> ( + °° ) verebbt die e-Funktion bei ( + 0 ) ; f geht gegen Unendlich wie x ³ Was passiert für u := - x ; x > 0 ? Der Typ der Funktion
f ( u ; A , B ) = A exp ( u ) - B u ³ ( 1a )
A = ( 2 / a ) cosh ( 1/2 ) ; B = 1/5 ( 1b )
Die e-Funktion klammern wir aus
f ( u ) = [ A - B u ³ exp ( - u ) ] exp ( u ) ( 1c )
Die eckige Klammer ist beschränkt, weil die e-Funktion jedes Polynom unterdrückt. Mit A > 0 geht f abermals asymptotisch gegen ( + °° ) wie die e-Funktion - wir erwarten ein Minimum . Damit drängen sich qualitative Verwandtschaften zur Parabel auf; auch hier gibt uns ja die W-Funktion eine Diskriminante, wann du null, eine oder zwei Knoten hast. Ja die Analogie reicht sogar noch weiter; genau wie du eine quadratische Gleichung durch die quadratischeErgänzung löst, besteht die Taktik hier immer darin, dass du ein " vollständiges W " zusammen bekommst - das Internet strotzt nur so von Übungsbeispielen. Im Grunde ist das alles auch gar nicht schwer.
- x ³ exp ( x ) = A / B | ^ 1/3 ( 2a )
- x exp ( 1/3 x ) = ( A / B ) ^ 1/3 | : - 3 ( 2b )
1/3 x exp ( 1/3 x ) = - 1/3 ( A / B ) ^ 1/3 | W ( 2c )
x1;2 = - 3 | W1;2 [ - 1/3 ( A / B ) ^ 1/3 ] | ( 2d )
Anmerkung 1 . Da das Argument der W-Funktion negativ ist, hast du zwei Lösungen W1;2 analog " Plus/Minus Wurzel "
Anmerkung 2. Ich halte dafür, dass es unzulässig ist, Minuszeichen zu verstecken ( vergleiche ( 1a ) ) Du musst daher schreiben " Minus W Betrag "
Wir sind jetzt so weit, dass wir uns deiner Aufgabe 2 zuwenden können. Lassen wir doch mal a ===> ( °° ) Dann geht in ( 1b ) A gegen Null; d.h. der relative Einfluss der e-Funktion verschwindet gegenüber dem Polynomterm x ³ Wir erwarten, dass die Nullstelle immer mehr in den Ursprung rückt; und genau dieses Verhalten zeigt ja W2 auch in ( 2d ) Für A ===> 0 geht W2 gegen ( - 0 ) Andererseits divergiert ja W1 nach ( - °° ) ; anschauliche Deutung. Je mehr die e-Funktion unterdrückt wird, desto tiefer sinkt f ( min ) ab; desto weiter rücken x1 und x ( min ) nach Links, bis endlich wieder die e-funktion die Oberhand gewinnt.
Die Wurzel aus negativen Zahlen kannst du nicht ziehen; und genau so gibt es hier eine Grenzbedingung für reelle Nullstellen. In ( 2d ) muss erfüllt sein
1/3 ( A / B ) ^ 1/3 < = 1 / e ===> A / B < = 27 / e ³ = 1.344 ( 3a )
cosh ( 1/2 ) = 1.128 ( 3b )
A / B = ( 10 / a ) cosh ( 1/2 ) < = 27 / e ³ ===> a > = 11.28 / 1.344 = 8.393 ( 3c )
Wieder anschaulich gedenkt. Wenn du den Einfluss der e-funktion unendlich verstärkst, wird irgendwann f ( min ) > 0
Aufg 3 Prüf bitte nochmal nach, ob iv h mich irgendwo verrechnert habe; a = 1/2 geht doch gar nicht. Unter Ziffer 1 hat er es auch wieder. Wenden wir uns aber jetzt den Extrema zu .
f ' ( x ) = 3 B x ² - A exp ( - x ) = 0 | sqr ( 4a )
x exp ( 1/2 x ) = sqr ( A / 3 B ) ( 4b )
x ( min ) = 2 W [ 1/2 sqr ( A / 3 B ) ] ( 4c )
Es bleibt aufregend; oder muss ich mich entschuildigen? Jede KD beginne ich immer mit der Grobskizze, damit ich überhaupt erst mal einen Plan habe. In ( 4c ) kommt nun ein völlig unerwarteter Punkt; doch überlegen wir.
Wegen der e-Funktion besitzt f ( x ) bei x = 0 eine fallende Tangente; damit folgt aber aus der Asymptotik, dass wir für x > 0 ein Minimum erwarten. Aber wie müssen wir dann links anschließen? Wenn es Nullstellen gibt, offenbar ( von Rechts nach Links ) erst ein Maximum, dann x2 und dann das Minimum .
Der Witz an der Sache ist: Du kannst ja in ( 4b ) auch die negative Wurzel ziehen.
x ( min / max ) = - 2 | W1;2 [ - 1/2 sqr ( A / 3 B ) ] | ( 5a )
Hier das ist voll witzig; hier sind Genies gefordert wie ich. Ich meine - siehst du überhaupt schon das Problem?
Ich bin bescheiden; ich halte es schlicht für Aussichtslos, die geforderte Ungleichung elementar nachzuweisen
x1 < x1 ( min ) < x2 < x ( max ) < 0 < x2 ( min ) ( 5b )
Mit Quadratwurzeln kannste das echt machen; aber über diese W-Funktion sind einfach keine gescheiten Abscjätzungen bekannt. Aaber. Wir hatten gesagt, in ( 2d ) hast du den Grenzfall
A / B < = 27 / e ³ ===> x1;2 = ( - 3 ) ( 5c )
Diese doppelte Nullstelle muss aber mit x1 ( min ) zusammen fallen . ( max Zeichen )
