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Hallo liebe Foren-Members, hier eine weitere Aufgabe aus der Mathe-Abi-Prüfung Nordrhein Westfalen 2013, und zwar Hauptteil 1 vom Grundkurs.

Thema: Analysis e-Funktion Buche

Gegeben ist f(t) = 0,3+35*(1-2e^{-0,02t} + e^{-0,04t}) = 0,3+35*(1-e^{-0,02t})²

Wir sollen:

1. das Wachstum der Buche, also den Graphen im Sachzusammenhang beschreiben

2. die höchste Wachstumsgeschwindigkeit berechnen

3. begründen, warum die Buche nicht höher als 35,3 Meter groß werden kann

4. begründen, warum die Buche immer höher sein wird als eine zweite Buche, deren Wachstumsgeschwindigkeitsfunktion gegeben ist

5. den Unterschied in der Höhe der beiden Buchen nach 50 Jahren berechnen.

Zu 4. und 5. fehlen mir noch die Formeln, also jetzt noch nicht lösbar.

 

Könnt ihr 1, 2 und 3 erklären?

von
kinderleicht die Aufgabe , die ableitungen sind total einfach, man muss nur ausmultiplizieren und dann ohne produktregel ableiten...
Ich möchte ja nichts sagen, aber die Aufgaben sind auf  jeden Fall machbar., eigentlich sogar Kinderleicht... selbst für den GK
Und das sagt jetzt jemand, der mit einem Halbjahresschnitt von 08 heute Matheabi geschrieben hat :D

1 Antwort

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Ich würde folgendes sagen:

1)

Die Buch wird mit einer Größe von 0,3 Einheiten eingepflanzt. Der Baum beginnt zu wachsen bis zu einem gewissen Punkt. Der Punkt ist f(∞)=0,3+35*(1-0)2= 35,3 (Dies ist auch Begründung für 3)

 

2) 

Zu 2 ist halt ableiten und zweite Ableitung =0 setzen. Dann hinreichende Bedingung . Die x Koordinate von der notw. Bed. in die ertste Ableitung einsetzen um die Geschwindigkeit(Steigung) zu haben.

 

3) 

siehe 1): f(∞)=0,3+35(1-0)2= 0,3+35=35,5

 

von
könntest du vielleicht den Wendepunkt vorrechnen?

Weil die meisten wussten ja was machen machen muss nur nicht wie man das bei der Funktion hinkriegt...

zu 1), der Baum wächst natürlich nicht bis zu dem Punkt f(∞), die meisten Bäume sterben nach endlicher Zeit, der momentan als älteste bekannte Baum ist anscheinend 9550 Jahre alt.

Besser wäre zu sagen, der Baum wächst immer weiter, allerdings mit einer stark abnehmenden Geschwindigkeit, so dass er einen gewissen Punkt niemals überschreiten wird.

 

zu 2), ja hier muss das Maximum der Geschwindigkeit, also das Maximum der ersten Ableitung bestimmt werden. Das kann man ruhig auch so nennen. Das heißt man rechnet sozusagen den Hochpunkt der ersten Ableitung aus und dafür brauch man halt die Ableitung der ersten, also die zweite Ableitung für die notwendige Bedingung.

 

zu 3), es ist nicht korrekt f(∞) zu schreiben, da ich mich sehr wundern würde, wenn ∞  im Definitionsbereich der Funktion liegt. Korrekt ist allerdings, dass man hier einen Grenzwert berechnen muss. Man schaut also, wie groß der Baum würde, wenn er unendlich lange weiterwachsen würde.

Das ist dann eben limtf(t), der Rest der Rechnung stimmt.

Zu dem muss bei b auch der randwert beachtet werden der dann in die erste Ableitung eingesetzt werden muss, un zu gucken ob beim Wendepunkt ein globales Maximum vorliegt

f '(t)=35*(2*(1-e-0,02t)1 * (-e-0,02t )*-0,02)=1,4*(1-e-0,02t)*e-0.02t=1,4*(e-0,02t-e-0,04t)

f ''(t)=1,4*(e-0,02t *(-0,02) - e-0,04t * (-0,04))=-0,028 e-0,02t+0,056 e-0,04t

f '''(t)=0,00056 e-0,02t - 0,00224 e-0,04t

 

f ''(t)=0 ⇔0,056 e-0,04t = 0,028 e-0,02t ⇔ 2= (e0,04t/e0,02t) ⇔ 2= e0,02t ⇔ln(2) = 0,02t ⇔ t= ln(2)/0,02

 

jetzt in f '''(t) einsetzen ergibt ungefähr f '''(ln(2)/0,02)≈ -0,00028 < 0 also Maximum der ersten Ableitung.

Dieses Beträgt dann f '(ln(2)/0,002)=0,35

Ausmultipliziert lautet das Ding oben:

ƒ(t) = 35·e-0,04·t - 70·e-0,02·t + 35,3

E-Funktionen haben für gewöhnlich keine Nullstellen, so auch diese nicht!

Extremwerte kommen nur vor wenn das t selbst ein Quadrat wäre z.B. wie bei der GaussNormalverteilung.

Damit gibt es auch hier kein Extrema, sondern nur einen oberen Grenzwert!

Die Sauerei in Sachen Verwirrung ist, das man im ersten Moment glaubt, man müsse e-0,02·t substituieren um eine quadratische Hilfsgleichung zu bekommen die man dann lösen könne inkl. Rücksubstitution.

ABER und hier ist der Trick:

Man kann das Ding oben auch anders hinschreiben denn >>> e-x = 1 / e+x

Also f(t) =  35 / e0,04·t - 70 / e0,02·t + 35,3

Lässt man nun bei dieser Umschreibung Limes t →∞ laufen werden die Bruchterme oben zu → 0

Dh. die 35 verschwindet und die -70 verschwindet und 35,3 bleibt übrig.

Prinzipiell ist die Aufgabe nicht schwer, denn man muss hier nicht mal schwere Geschütze wie die Regel von Hospital auffahren, sondern man kann hier klar sehen das die Euch mit der Schreibweise verarscht habenum so erst mal Verwirrung zu stiften!

Und genau das werden die euch bezüglich des Ministeriums vorhalten!

Ich hatte mich schon gewundert als ich den Zirkus in der Aktuellen Stunde im WDR sah mit big Demo usw. Und genau das was ich oben schrieb werden die auch vorhalten!

Was mich noch wundert, ist da keine Extremwert-Aufgabe mit Nebenbedingungen in der Prüfung gewesen ?

Gruß Informatiker

 

 

Hier eine Rechnung mit einem CAS.

Die höchste Wachstumgsgeschwindigkeit ist bei t = 34,6573 Zeiteinheiten (hier Jahre) erreicht.

 

Lieber Informatiker, mir ist nicht klar was du zu erklären versuchst.

Verstehe ich die richtig, dass du behauptest eine Kombination von e-Funktionen bei denen die Variable nicht quadratisch vorliegt kann keinen Extremwert haben? Das ist schlicht und einfach völlig falsch.

Auch das ausmultiplizieren ist meiner Meinung nach an dieser Stelle eher kontraproduktiv um der Funktion schon etwas bezüglich Extrema anzusehen. Wie (1-e-irgendwas * t) sich für große t verhält ist doch recht klar, während (eTerm1 - eTerm2) nicht so leit zu begreifen ist.

Also was das Ministerium jetzt wem vorhält weiß ich nicht, aber die schreibweise war eigentlich eher nett, als verwirrend, da den Term ausmultiplizieren wohl fast jeder hinbekommt, anders herum die binomische Formel zu sehen und richtig zu faktorisieren eher schwer ist .

Gruß,

Mathematiker

 

 

Die Zeichnung stimmt übrigens mit der Rechnung oben überein, da ln(2)/0,02≈34,65735903
Gemeint war das als einzelne e-Funktion.

Natürlich kann man mit e-Kombinationen auch Nullstellen erzwingen.

Nun gut, hätte ich klarer rausstellen müssen.

Aber in einem stimme ich den Schülern zu, die anfängliche Verwirrung wegen

der dargebotenen Schreibweise.

Sowas provoziert im allgemeinen schon im ersten Schritt Flücktigkeitsfehler.

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