Pascalsche Dreieck - (Wurzel(a) - 1/Wurzel(a))6

Question

Ahoi,

Ich hänge an ner Aufgabe und möchte gerne wissen, ob es mit der Lösung von mir seine Richtigkeit hat. Die Aufgabe hat das Pascalsche Dreieck zum Thema und lautet

$$\quad \quad (\sqrt { a } -\frac { 1 }{ \sqrt { a } } { ) }^{ 6 }$$

und meine Lösung dazu, etwas ausführlicher, denn ich bin mir eigentlich sicher das etwas nicht stimmt aber ist ja schon etwas spät :D:D

$$\quad \quad (\sqrt { a } -\frac { 1 }{ \sqrt { a } } { ) }^{ 6 }\\ =1\sqrt [ 2 ]{ { a }^{ 6 } } (-\frac { 1 }{ \sqrt [ 2 ]{ a^{ 0 } } } )+6\sqrt [ 2 ]{ { a }^{ 5 } } (-\frac { 1 }{ \sqrt [ 2 ]{ { a }^{ 1 } } } )+15\sqrt [ 2 ]{ { a }^{ 4 } } (-\frac { 1 }{ \sqrt [ 2 ]{ { a }^{ 2 } } } )+20\sqrt [ 2 ]{ { a }^{ 3 } } (-\frac { 1 }{ \sqrt [ 2 ]{ { a }^{ 3 } } } )+15\sqrt [ 2 ]{ { a }^{ 2 } } (-\frac { 1 }{ \sqrt [ 2 ]{ { a }^{ 4 } } } )+6\sqrt [ 2 ]{ { a }^{ 1 } } (-\frac { 1 }{ \sqrt [ 2 ]{ { a }^{ 5 } } } )+1\sqrt [ 2 ]{ { a }^{ 0 } } (-\frac { 1 }{ \sqrt [ 2 ]{ { a }^{ 6 } } } )\\ ={ a }^{ \frac { 6 }{ 2 } }(-\frac { 1 }{ { a }^{ \frac { 0 }{ 2 } } } )+{ 6a }^{ \frac { 5 }{ 2 } }(-\frac { 1 }{ { a }^{ \frac { 1 }{ 2 } } } )+{ 15a }^{ \frac { 4 }{ 2 } }(-\frac { 1 }{ { a }^{ \frac { 2 }{ 2 } } } )+{ 20a }^{ \frac { 3 }{ 2 } }(-\frac { 1 }{ { a }^{ \frac { 3 }{ 2 } } } )+{ 15a }^{ \frac { 2 }{ 2 } }(-\frac { 1 }{ { a }^{ \frac { 4 }{ 2 } } } )+{ 6a }^{ \frac { 1 }{ 2 } }(-\frac { 1 }{ { a }^{ \frac { 5 }{ 2 } } } )+{ 1 }a^{ \frac { 0 }{ 2 } }(-\frac { 1 }{ { a }^{ \frac { 6 }{ 2 } } } )\\ ={ a }^{ \frac { 6 }{ 2 } }(-({ a }^{ { - }^{ \frac { 0 }{ 2 } } }))+{ 6a }^{ \frac { 5 }{ 2 } }(-({ a }^{ { - }^{ \frac { 1 }{ 2 } } }))+{ 15 }a^{ \frac { 4 }{ 2 } }(-({ a }^{ { - }\frac { 2 }{ 2 } }))+{ 20a }^{ \frac { 3 }{ 2 } }(-({ a }^{ { - }^{ \frac { 3 }{ 2 } } }))+{ 15 }a^{ \frac { 2 }{ 2 } }(-({ a }^{ { - }^{ \frac { 4 }{ 2 } } }))+{ 6a }^{ \frac { 1 }{ 2 } }(-({ a }^{ { - }^{ \frac { 5 }{ 2 } } }))+{ 1a }^{ \frac { 0 }{ 2 } }(-({ a }^{ { - }^{ \frac { 6 }{ 2 } } }))\\ ={ a }^{ \frac { 6 }{ 2 } }(-1)+(-6{ a }^{ \frac { 5 }{ 2 } +(-\frac { 1 }{ 2 } ) })+(-15a^{ \frac { 4 }{ 2 } +(-\frac { 2 }{ 2 } ) })+{ (-20a }^{ \frac { 3 }{ 2 } +(-\frac { 3 }{ 2 } ) })+{ (-15 }a^{ \frac { 2 }{ 2 } +(-\frac { 4 }{ 2 } ) })+(-{ 6a }^{ \frac { 1 }{ 2 } +(-\frac { 5 }{ 2 } ) })+(-{ 1a }^{ \frac { 0 }{ 2 } +(-\frac { 6 }{ 2 } ) })\\ =-{ a }^{ 3 }-6{ a }^{ 2 }-15a-20-15\frac { 1 }{ a } -6\frac { 1 }{ { a }^{ 2 } } -{ a }^{ 3 }\quad \quad ??$$

oder nochmal als Bilddatei, ich habe wo ich die Vorzeichen herleite rot markiert...

Ich danke euch im voraus und verbleibe

Salut

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Ahoi,

Sorry was natürlich müsste ist eine Definition nämlich a≥0

Vielen Dank und lieben Gruß

Answer 1

(a - b)⁶ = a⁶ - 6·a⁵·b + 15·a⁴·b² - 20·a³·b³ + 15·a²·b⁴ - 6·a·b⁵ + b⁶

((a^1/2) - (a^-1/2))⁶ = (a^1/2)⁶ - 6·(a^1/2)⁵·(a^-1/2) + 15·(a^1/2)⁴·(a^-1/2)² - 20·(a^1/2)³·(a^-1/2)³ + 15·(a^1/2)²·(a^-1/2)⁴ - 6·(a^1/2)·(a^-1/2)⁵ + (a^-1/2)⁶

((a^1/2) - (a^-1/2))⁶ = a³ - 6·a² + 15·a - 20 + 15/a - 6/a² + 1/a³

Du scheinst also irgendwie die Vorzeichen verhunzt zu haben. Und am Ende hast du den negativen Exponenten noch missachtet.

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Ahoi !

Vielen lieben Dank. Negativer exponent ich denke damit ist wohl  mein −a^-3 ganz zum schluss gemeint, obwohl ja da noch steht -a³  aber soweit so gut. die Erfahrung war mir sehr viel Wert. Danke und lieben Gruß

Salut

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Davor steht bei dir 0/2 - 6/2 und das ist ja nicht +3 oder?

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Ahoi,

nee, genau richtig das machen  a^-3 = 1/a³ danke dir.
Sorry dass ich zu faul bin die richtige Lösung rein zu schreiben aber ich denke es sollte klar sein. Es war aufjedenfall hilfreich wie ich finde :P Danke und lieben Gruß

Salut

Answer 2

Hi, das Problem bei deiner Rechnung besteht darin, dass du die Potenzen der negativen Summanden völlig falsch berechnest. Das Minuszeichen muss mit potenziert werden und bleibt daher nur beim Potenzieren mit ungeraden Exponenten erhalten. Um solche Fehler zu vermeiden, solltest Du den Term so umformen:
$$\left(\sqrt { a } - \frac { 1 }{ \sqrt { a } } \right)^6 = \left(\sqrt { a } + \frac { (-1) }{ \sqrt { a } } \right)^6$$

Auch weitergehende Umformungen, die vielleicht nicht ganz zur Aufgabenstellung passen, sind denkbar, etwa diese hier:
$$\left(\sqrt { a } - \frac { 1 }{ \sqrt { a } } \right)^6 = \frac { \left( a + (-1) \right)^6 }{ a^3 }$$

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Ahoi !

Vielen lieben Dank. Tjaja das Stichwort "muss mitpotenziert werden" hätte nirgends besser passen können  als hier -.-'  :-)  :-) . Ich finde deine Ansicht sehr interessant ,die Erfahrung war mir sehr viel Wert. Danke und lieben Gruß

Salut