Der Binomische Satz - m-te Glied gesucht

Question

Ahoi,

Ich hänge an mehreren Aufgaben und möchte gerne wissen, ob es mit den Lösung von mir seine Richtigkeit hat. Die Aufgabe hat den binomischen Satz zumThema und gesucht ist jeweils das m-te Glied. Die Aufgaben lauten wie folgt

$$(a-3b)^{ 10 }\quad ;\quad m=4$$

meine Lösung dazu

$$\quad \quad (a-3b)^{ 10 }\quad ;\quad m=4\\ =\frac { 10! }{ (10-3)!\cdot 3! } \cdot { a }^{ 7 }\cdot (-3b)^{ 3 }\\ =-120{ \cdot a }^{ 7 }\cdot 3{ b }^{ 3 }$$

Die nächte Aufgabe lautet

$$(\frac { a }{ 2 } +\sqrt { 2b } { ) }^{ 12 }\quad ;\quad m=9$$

meine Lösung dazu

$$\quad \quad (\frac { a }{ 2 } +\sqrt { 2b } { ) }^{ 12 }\quad ;\quad m=9\\ =\frac { 12! }{ (12-8)!\cdot 8! } \cdot (\frac { a }{ 2 } { ) }^{ 4 }\cdot (\sqrt { 2b } { ) }^{ 8 }\\ =495\cdot (\frac { a }{ 2 } )^{ 4 }\cdot (2b{ ) }^{ 4 }\quad ??$$

und nicht zuletzt

$$\quad \quad (\frac { a }{ 2b } -2{ b }^{ 2 }{ ) }^{ 9 }\quad ;\quad m=\quad 4$$

und meine Lösung dazu

$$\quad \quad (\frac { a }{ 2b } -2{ b }^{ 2 }{ ) }^{ 9 }\quad ;\quad m=\quad 4\\ =\frac { 9! }{ (9-3)!\cdot 3! } \cdot (\frac { a }{ 2b } { ) }^{ 6 }(-2{ b }^{ 2 }{ ) }^{ 3 }\\ =-84{ a }^{ 6 }\quad ??$$

Ich danke euch im voraus und verbleibe

Salut

Comments

Ich belasse es zunächst bei der ersten Aufgabe, da habe ich:

-3240*a^7*b^3 bzw.
$$ -3240\cdot a^7\cdot b^3 $$

---

Ahoi,

wieso 3240 ? 10 über 3 sind 120 ist es nicht so ? und was passiert mit dem koeffizienten von b ? der 3

und
Salut

---

Hi, es ist$$ \frac { 10! }{ (10-3)!\cdot 3! } \cdot { a }^{ 7 }\cdot (-3b)^{ 3 } = 120{ \cdot a }^{ 7 }\cdot (-3)^3\cdot b^3 $$Bitte beachte die Rechenregeln für Potenzen!

Answer 1

k = 3

(-1)^3 * (10 über 3) * a^{10 - 3} * (3b)^3 = - 3240·a^7·b^3

495·a^4·b^4 ist richtig. du solltest dein term noch vereinfachen

21/2·a^6 habe ich beim letzten heraus

Comments

Ahoi,

Sorry aber wie rum ich auch drehe irgendwo hängts. was mich am meisten zum grübeln bringt sind die 3240 weil 10 über 3 sind doch 120 ? Ich möchte mal ein bisschen ausfürlicher ausführen wieso ich hätte auf meine Lösungen tippen wollen

$$Es\quad gilt\quad ja\\ (a+b{ ) }^{ n }=\sum _{ k=0 }^{ n }{ (_{ k }^{ n }) } \cdot { a }^{ n-k }\cdot { b }^{ k }$$

Richtig ?

So nun zur ersten:

$$(a-3b{ ) }^{ 10 }\quad ;\quad m=4\\ mit\quad k+1\quad =\quad 4\quad \Leftrightarrow \quad k=3\\ { T }_{ 4 }=(_{ 3 }^{ 10 })\cdot a^{ 10-3 }\cdot (-3b{ ) }^{ 3 }\\ =\frac { 10! }{ (10-3)!\cdot 3! } \cdot ({ a) }^{ 7 }\cdot (-3{ b })^{ 3 }=\frac { 10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1 }{ (7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1)\cdot (3\cdot 2\cdot 1) } \cdot ({ a) }^{ 7 }\cdot (-3{ b })^{ 3 }\\ =\frac { 10\cdot 9\cdot 8 }{ 3\cdot 2\cdot 1 } \cdot { a }^{ 7 }\cdot (-3b{ ) }^{ 3 }\\ =-120{ a }^{ 7 }(3b{ ) }^{ 3 }$$

Nummer zwei

$$(\frac { a }{ 2 } +\sqrt { 2b } { ) }^{ 12 }\quad ;\quad m=9\\ mit\quad k+1\quad =\quad 9\quad \Leftrightarrow \quad k=8\\ { T }_{ 8 }=(_{ 8 }^{ 12 })\cdot (\frac { a }{ 2 } )^{ 12-8 }\cdot \sqrt [ 2 ]{ 2{ b }^{ 8 } } \\ =\frac { 12! }{ (12-8)!\cdot 8! } \cdot (\frac { a }{ 2 } )^{ 4 }\cdot { 2b }^{ 4 }=\frac { 12\cdot 11\cdot 10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1 }{ (4\cdot 3\cdot 2\cdot 1)\cdot (8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1) } \cdot (\frac { a }{ 2 } )^{ 4 }\cdot { 2b }^{ 4 }\\ =\frac { 12\cdot 11\cdot 10\cdot 9 }{ 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1 } \cdot (\frac { a }{ 2 } )^{ 4 }\cdot { 2b }^{ 4 }\\ =495(\frac { a }{ 2 } )^{ 4 }(2b{ ) }^{ 4 }\\ =\quad ich\quad würde\quad mal\quad behaupten\quad das\quad lässt\quad sich\quad auch\quad schreiben\quad als\\ \quad \quad 495\frac { { a }^{ 4 }\cdot (2{ b })^{ 4 } }{ 16 } \quad ??$$

Und Nr. drei

$$(\frac { a }{ 2b } -2{ b }^{ 2 }{ ) }^{ 9 }\quad ;\quad m=4\\ mit\quad k+1\quad =\quad 4\quad \Leftrightarrow \quad k=3\\ { T }_{ 3 }=(_{ 3 }^{ 9 })\cdot (\frac { a }{ 2b } )^{ 9-3 }\cdot (-2{ b }^{ 2 })^{ 3 }\\ =\frac { 9! }{ (9-3)!\cdot 3! } \cdot (\frac { a }{ 2b } )^{ 6 }\cdot { (-2b }^{ 2 }{ ) }^{ 3 }=\frac { 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1 }{ (6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1)\cdot (3\cdot 2\cdot 1) } \cdot (\frac { a }{ 2b } )^{ 6 }\cdot { (-2b }^{ 2 }{ ) }^{ 3 }\\ =\frac { 9\cdot 8\cdot 7 }{ 3\cdot 2\cdot 1 } \cdot (\frac { a }{ 2b } )^{ 6 }\cdot { (-2b }^{ 2 }{ ) }^{ 3 }\\ =-84(\frac { { a }^{ 6 }\cdot 2{ b }^{ 6 } }{ 2{ b }^{ 6 } } )\\ =-84{ a }^{ 6 }$$

Was ist falsch daran ? Sieht jemand, dass ich einen Fehler hätte ? Wenn ja , bitte welchen.
Ich danke euch im voraus und verbleibe

und
Salut

---

Warum multiplizierst du nicht anständig aus?

- 120·a^7·(3·b)^3 = - 120·a^7·27·b^3 = - 3240·a^7·b^3

495·(a/2)^4·(2·b)^4 = 495·a^4/16·16·b^4 = 495·a^4·b^4

84·(a/(2·b))^6·(- 2·b^2)^3 = - 84·a^6/(64·b^6)·8·b^6 = - 10.5·a^6

---

Ahoi,

Salut