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Angenommen wir haben die Zahlen y1, y2, y3 ... wobei y1 = 1 und yN = yN-1 + 2N. Gesucht ist nun eine Formel für yN, die für n ≥ 2 gilt. 

Ich glaube, dass man dort die Formel für die arithmetische Folge benutzen sollte. Wie macht man das?

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Am Besten schreibst du einfach erstmal ein paar Glieder der Folge auf:

yN = yN-1 + 2N

und y1 = 1

Also: y2 = y1+2*2 = 1 + 4 = 5

y3 = y2 + 2*3 = 5 + 6 = 11

y4 = y3 + 2*4 = 11 + 8 = 19

y5 = 29

und so weiter.

 

Eine arithmetische Folge ist das auf jeden Fall nicht, denn für die gilt immer yN = yN-1 + c mit einem festen c für alle Folgenglieder.

Da das Wachstum aber immer größer wird, würde ich eine quadratische Formel vorschlagen.

Hier müsste die Lösung n2+n-1 sein, was man mit vollständiger Induktion beweisen kann.

Der Beweis funktioniert folgendermaßen: du zeigst, dass die Formel für n=1 stimmt. Dann zeigst, dass wenn die Formel für n gilt, dass sie dann auch für n+1 gilt. 

Für n=1 ist die Antwort trivial: 12 + 1 - 1 = 1, also ist die Behauptung erfüllt.

Sei nun die Formel bis zu einem gewissen n erfüllt, dann gilt für dieses n auf jeden Fall:

yn = n2+n-1   (*)

Zu zeigen ist nun, dass dann für n+1 gilt:

yn+1=(n+1)2+(n+1)-1   (**)

Dabei darf ausgenutzt werden:

yn+1 = yn + 2n,    (***)

denn das ist ja die Bildungsvorschrift.

Dafür setzt man nun in die Formel (***) die Formel (*) ein. Damit ergibt sich:
yn+1 = n+ n - 1 + 2n 

yn+1 = n2 + 2n + 1 + n - 1 - 1

yn+1 = (n+1)2 + (n-1) -1 

was genau der Formel (**) entspricht, also ist die Behauptung für alle n∈ℕ bewiesen.

Frag mich nicht, wie man genau auf die Formel (*) überhaupt kommt. Ich muss zugeben, das ich da ausgehend von "irgendwas quadratischem" einfach erstmal n2+n geraten hab und damit immer zwei zu hoch lag. 

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