Bestimme den kürzesten Abstand zwischen den beiden Ästen einer Hyperbel!

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Hallo!

Ich hänge im Moment an einer Aufgabe fest:

Gegeben sei die Funktion k(x) = 36/x + x + 2. Stelle die Funktion mit einem geeigneten Funktionsplotter dar und erkenne ihr Symmetriezentrum. Beweisen sie, dass die Funktion tatsächlich symmetrisch ist und bestimmen sie mit dieser Erkenntnis den kürzesten Abstand zwischen den beiden Ästen der Funktion.

Die Funktion anzeigen zu lassen ist nun wirklich nicht mein Problem und ich erkenne auch die Punktsymmetrie um P(0|2). Beim mathematischen Beweis der Symmetrie scheitere ich aber schon. Hier könnte ich zum Beispiel sagen:

36/x1 + x1 + 2 = y1 und 36/x2 + x2 + 2 = y2  bei x1 = -x2 und y1 -2 = -y2 -2 und dann gleichsetzen oder so...

Geht das so in etwa? Besonders sicher bin ich mir ja nicht. Und wie bestimme ich den kürzesten Abstand zwischen den beiden Ästen? Ist der von Extrempunkt zu Exrempunkt?

Hoffentlich kann mir hier jemand helfen. Danke schon mal im Voraus. :)

Gefragt 23 Sep 2012 von Gast jb6699

2 Antworten

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Beste Antwort

Mit dem kürzesten Abstand kann ich dir ein Stück weiterhelfen. Dieser geht durch den Punkt P(0|2) wegen der Punkt-Symmetrie.

Also können wir den kürzesten Abstand von diesem Punkt an die Hyperbel suchen.

Für den Abstand im Quadrat (die Formel wird dann etwas einfacher, da ohne Wurzel) gilt die Formel d2 = (x-x1)2 + (y-y2)2

Den Punkt P einsetzen: x2 + (y-2)2 = x2 + y2 - 4y + 4  

Und jetzt für y die Funktion k(x) einsetzen gibt  d2 =  x2 + 1296/x2 + x2 + 4 + 72 + 4x + 144/x + 4 - 4*36/x -4*x -8

d2 =  1296/x2 + 2x2  + 72

Diesen Term leiten wir ab: -2*1296/x3 + 4x = 0

Mit x3/2 multiplizieren:   1296 = 2x4

x12=±5.04537849152

Meine Lösung scheint noch nicht zu stimmen. Der Lösungsweg sollte aber stimmen. Die Ableitungen k'(x) im Punkt x und -x müssten doch gleich hoch sein. Findet jemand den Fehler?

Beantwortet 23 Sep 2012 von Capricorn Experte II

Meine Lösung x12=±5.04537849152 scheint doch zu stimmen. Meine Überprüfung war vorhin falsch.

Der kürzeste Abstand beträgt: 26.3684187

Die beiden Punkte, zwischen denen der kürzeste Abstand liegt sind:

P(5.04537849152|14.1806212) und P2(-5.04537849152|-10.1806212)

Die Steigung in den Schnittpunkten beträgt: -0.41421356

Die Steigung der Verbindungsgeraden ist 2.41421356

 

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x≠0 sonst ist die funktion nicht definiert,

Richtig ist das der kürzeste Abstand zwische den beiden Äsren eine gerade ist, um diese lineare Funktion bestimmen zu können  , bräuchte man die Extremwerte , die hier relativ sein müssten und nicht absolut.

Die Extrempunkte in die

gerade zwischen den beiden ÄstenZweipunkteform einsetzen und die Lineare Gleichung bestimmen.

(Zur Kontrolle    -6/-10  und 6/14   . gleichung lautet  f(x)=2x+2 auf dieser Geraden liegt auch der  bereits gefunden Spiegelpunkt 0/2)

Beantwortet 23 Sep 2012 von Akelei Experte XIX

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