Rekonstruktion einer ganzrationalen Funktion 3. Grades

Question

a) Gesucht ist eine ganzrationale Funktion dritten Grades mit dem Tiefpunkt P(1/-2), deren Wendepunkt im Koordinatenursprung (0/0) liegt.

b) Der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades hat im Ursprung und im Punkt P(2/4) jeweils ein Extremum.

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Wenn möglich mit Rechenweg :)

Answer 1

f ( x ) = a * x^3 + b * x^2 + c *  x + d

a) Gesucht ist eine ganzrationale Funktion dritten Grades mit dem
Tiefpunkt P(1/-2), deren Wendepunkt im Koordinatenursprung (0/0) liegt.

f ( 1 ) = -2
f ´( 1 ) = 0
f ( 0 ) = 0
f ´´( 0 ) = 0

b) Der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades hat im
Ursprung und im Punkt P(2/4) jeweils ein Extremum.

f ( 0 ) = 0
f ´( 0 ) = 0
f ( 2 ) = 4
f ´( 2 ) = 0

ich gehe jetzt zu Bett.
Bin bei Bedarf gern weiter behilflich.

Comments

Danke für die schnelle Antwort :)

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f ( x ) = a * x³ + b * x² + c *  x + d
f ´( x ) = 3 * a * x^2 + 2 * b * x + c
f ´´ ( x ) = 6 * a * x + 2 * b

f ( 0 ) = 0
f ( 0 ) = a * 0³ + b * 0² + c *  0 + d  = 0  => d = 0

f ´´( 0 ) = 0
f ´´ ( 0 ) = 6 * a * 0 + 2 * b = 0  =>  b = 0

f ( x ) = a * x³ + c *  x
f ´( x ) = 3 * a * x^2 + c

f ( 1 ) = -2
f ( 1 ) = a * 1³ + c *  1 = -2
f ( 1 ) = a  + c  = -2

f ´( 1 ) = 0
f ´( 1 ) = 3 * a * 1^2 + c = 0 
3 * a + c = 0

a  + c  = -2
3 * a + c = 0
----------------
a - 3 * a = -2 - 0
-2 * a = -2
a = 1

a + c = -2
1 + c = -2
c = -3

f ( x ) = x^3 - 3 * x

~plot~ x^3 - 3 * x ~plot~

Answer 2

Auch ich kann Deutsch ( " Tiefpunkt " ) ; das heißt nicht " Rekonstruktion " , sondern " Steckbriefaufgabe "

Ihr müsst etwas lernen, was euch eure Lehrer systematisch verheimlichen:

" Alle kubistischen Polynome singen immer wieder die selbe Melodie. "

Eure Lehrer haben da eine Beschäftigungsterapie erdacht; ihr sollt glauben, dass es individuelle Unterschiede zwischen den Grafen gebe; als wenn es ein Abenteuer sei, die zu berechnen.

Diktat für Spickzettel, Formelsammlung und Regelheft.

Jedes kubische Polynom verläuft PUNKT SYMMETRISCH gegen seinen WP .

Wenn da schon steht, der WP liegt im Koordinatenursprung - naa? aha; die Funktion hat ungerade Symmetrie.

f  (  x  )  =  a3  x  ³  +  a1  x    (  1  )

Ja wir wissen sogar noch mehr. Wenn du das Minimum hast, hast du natürlich auch das Maximum durch Spiegeln:

(  x  |  y  )  (  max  )  =  (  -  1  |  2  )    (  2  )

Aber darauf will ich gar nicht hinaus. wir machen das heute ohne eine einzige Ableitung.

Eine Darstellung des Polynoms, bei welcher der WP direkt auf der Abszisse liegt, bezeichne ich als natürliche Darstellung ( ND ) Die beiden Extrema fallen ja immer Spiegel symmetrisch; und in ND tun dies auch die beiden Knoten ( warum? )

Wieder für den Spickzettel; für Nullstellen und Extrema gilt in ND eine strenge Wurzel-3-Proportionalität

x3  -  x  (  w  )  =  [  x  (  min  )  -  x  (  w  )  ]  sqr  (  3  )   (  3a  )

in unserem Falle also direkt aus dem Minimum

x1;3  =  -/+  sqr  (  3  )   (  3b  )

f  (  x  )  =  k  x  (  x  +  3  ^ 1/2  )  (  x  -  3  ^ 1/2  )  =   (  3c  )

=  k  (  x  ³  -  3  x  )    (  3d  )

Deine eigenleistung: woher tun wir uns k schnitzen?

Alle  Aufgaben auf Schulniveau gehen mit so Zaubertricks, dass du dir Hilfspunkte beschaffst, die explizit gar nicht da stehen.  Nur eine Unbekannte hatte ich - von Anfang an, wohl gemerkt.

Ich halte es für entscheidend wichtig, dass du fragst. Woher solltest du sonst etwas lernen?

Aufg b) ist sogar noch besser. Hier gibt es eine Strategie " Bottom -Up " und eine " Top - Down "

Bottom Up sagst du, du hast ja schon beide Wurzeln der ersten Ableitung - steht ja alles da:

f  '  (  x  )  =  k  x  (  x  -  2  )   =   (  4a  )

=  k  (  x  ²  -  2  x  )   (  4b  )

Was bleibt zu tun? Aufleiten, ===> Stammfunktion ===> Integral

f  (  x  )  =  k  (  1/3  x  ³  -  x  ²  )  +  C     (  4c  )

mit der ===> Integrationskonstanten C , die sogar verschwindet ( warum? )

Und den ===> Leitkoeffizienten k kriegst du durch Einsetzen von P

k  (  8/3  -  4  )  =  4  |  :  4     (  4d  )

Kürzen ist wichtiger als zusammen Fassen; bei mir würds ja Strafpunkte hageln ohne Ende.

k  (  2/3  -  1  )  =  1  ===>  k  =  (  -  3  )     (  5a  )

f  (  x  )  =  3  x  ²  -  x  ³     (  5b  )

Es ist immer wieder überraschend; ich seh grad. Das top-down-Verfahren, das ich dir oben ankündigte, geht sogar noch schneller.

Ein Extremum ist immer eine Nullstelle von gerader Ordnung wie hier im Ursprung; offensichtlich also doppelte. Damit lautet die Normalform des gesuchten Polynoms

F  (  x  )  =  x  ²  (  x  -  x3  )  =  (  6a  )

=:  x  ³  +  a2  x  ²     (  6b  )

mit der Unbekannten x3 ( Nullstelle ) bzw. a2 . Wieder eine Formel für den Spickzettel

x  (  w  )  =  1  =  -  1/3  a2  ===>  a2  =  (  -  3  )     (  6c  )

Erinnern wir uns. Wegen der Spiegelung kennen wir den WP , obwohl er nicht in der Aufgabe steht - wir müssen nur das aritmetische Mittel aus den beiden Extrtema ziehen.

Jetzt brauchen wir noch die Normierung

f  (  x  )  =  k  F  (  x  )    (  7  )

Naa stimmts?

Comments

Hallo Godzilla, 

ich weiß nicht, was ich, mein Lehrer oder sonstige beteiligten Personen falsch gemacht haben. Ich habe mein Mathe-Abitur gut überstanden (diese Aufgabe liegt definitiv nicht einmal auf Abi-Niveau) und doch steige ich ab "strenge Wurzel-3-Proportionalität" aus. Mir ist das überhaupt kein Begriff in diesem Zusammenhang und da du leider an Erläuterungen in diesem Abschnitt sehr sparst würde ich dich bitten, dies ein bisschen ausführlicher zu erklären und bitte auch mit "Ergebnis". Diese Methoden werden (zumindest bei mir) nicht in der Schule unterrichtet. Deshalb bitte ein bisschen Rücksicht.

Vielen Dank schon einmal!

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@gast
Zur Information : " Godzilla " fällt durch extrem langatmige Beantwortung
der Fragen auf. Die meisten werden bei den Antworten nicht durchblicken.

Am wenigsten der Fragesteller. Das Durchlesen kannst du dir wahr-
scheinlich sparen.

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Hier werden zwei miteinander unvereinbare Aussagen in den Raum gestellt.

Ich sei langatmig - soll wohl heißen, ihr kennt das längst, was ich zu sagen habe. Gast meint aber gerade umgekehrt, ich solle alles etwas ausführlicher rechtfertigen.

Was benutze ich eigentlich in ( 3a-d ) ? Einen Trick; du müsstest es dir mal raus plotten. Dann siehst du es sofort. Der WP liegt also auf der Abszisse; wir sagten, dieser Punkt ist das Symmetriezentrum  - bei uns sogar im Ursprung. Die beiden Extrema liegen bei ( +/- 1 ) Meine Behauptung: Kennst du diese Extrema, so kennst du automatisch auch die beiden Nullstellen; diese sind nämlich von dem Symmetriezentrum aus um einen Faktor wurzel ( 3 ) weiter entfernt als die Extrema .

" Sie alle singen immer wieder die selbe Melodie. "

Wenn ein Polynom 3. Grades durch den WP geht und ein Maximum hat, dann muss ja wohl auch eine Nullstelle folgen. Ein Zahlenbeispiel

x  (  w  )  =  (  4 711  |  0  )  ;   x  (  min  )  =  (  4 713  ;  -  100  )        (  2.1  )

Dann sage ich dir aus dem Kopf, wo die Nullstelle kommt:

x3  =  4 711 +  2  sqr  (  3  )     (  2.2  )

Hast du das Extremum, musst du Mal Wurzel 3 nehmen; hast du die Nullstelle, musst du durch Wurzel 3 teilen, um die Extrema zu bekommen.

( Ihr stellt euch da Alternativen vor, die es gar nicht geben kann. Es gibt quasi ein Gesetz, mit dem ich aus den Extrema schon die Linearfaktoren berechnen kann; das genau geschieht ja in ( 1.3cd )

( Diese Beziehung magst du gerne abstrakt herleiten; sowas beweist man einmal. Das Rad tust du ja auch nicht jeden Tag neu erfinden. )

Was ich in Aufg. b) zu sagen habe, ist wohl mein Standardtrick; es ist das, was sich am Leichtesten vermittelt. Wenn ich doch schon beide Extrema habe, kenne ich beide Wurzeln der ersten Ableitung und muss nur noch aufleiten. Genau so, wenn ich nur ein Extremum ( sagen wir Maximum ) und den WP habe. Dann schnitze ich mir das Minimum durch Spiegelung und habe wieder beide Nullstellen der ersten Ableitung.

Sage es doch mal so: Ihr habt 4 Unbekannte; für euch verbirgt sich hinter diesen Koeffizienten eine unbekannte Beziehung. Ich dagegen kenne diese Beziehung und muss nur noch rein mechanisch aufleiten; all diese Tricks verfolgen den einen guten Zweck, die Anzahl der Unbekannten überschaubar zu halten.

Oder nimm doch meine Aussage ( 1.6c ) Weißt du, welche Frage ich hier neulich gelesen habe?

" Hat jedes Polynom 3. Grades einen WP? Und wenn ja; wie kriegt man den raus? "

Spätestens hier siehst du doch, dass die ganzen Lehrer samt und sonders auf dem Holzweg sind mit ihren 2. und 3. Ableitungen. Da gibt es nämlich eine Spott einfache Formel; aus der Normalform ergibt sich

x  (  w  )  =  -  1/3  a2    (  2.3  )

Ein wirklich begabter Mathelehrer würde das einmal beweisen und so in die Formelsammlung aufnehmen.

Natürlich sagt das kein Oberstufenlehrer; in Analysis in der Oberstufe werden eigentlich bei jedem Lehrer deutlich die Defizite sichtbar. Ich habe auch nur drei Silvester Mensa; aber die haben andere auch. Im Studium lernst du, warum alle Lehrbücher das Format haben, das sie nun mal haben.

Zu meinen besten Zeiten war ich ja bei dem Konkurrenzportal " cosmic " ; da kamen Pausen los diese Steckbriefaufgaben. Weißt du; ich habe einfach hart trainiert. Ausgangspunkt war immer diese Spiegelsymmetrie; natürlich kamen mir nicht alle Ideen am ersten Tag ( " Rom wurde auch nicht an einem Tag erbaut " )

Und ich machte die Beobachtung; da gibt es super geniale Tricks, die brauchst du zwei Mal im Leben. Und andere, da würd ich echt sagen, ihr Dösköppe, habt ihr's immer noch nicht kapiert?

Ich fordere euch zur Wette auf: Besser machen. Soll mir doch mal einer einen Trick präsentieren, der von mir stammen könnte. Statt dessen sehe ich hier immer nur diese total sterilen 4 Unbekannten.

Siehs doch mal so. Was ist wohl besser? Deinen Geist zu stecken in die Umformungen eines Seelen losen LGS  oder erst mal aus den Angaben das Polynom so grob aufbereiten, dass es schon mal nach was aussieht?

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In mir "  arbeitet irgendwas " konstant weiter. Wieder eine Idee; du fragst, woher ich das ales habe. Da gibt es eine Aufgabe; auf Cosmic war sie glaub ich auch schon. Jajaa die guten alten Ladenhüter.

Aber andererseits wurde sie auch nur sehr selten gestellt - immer im Ton dieses verzweifelten Hilferufs.

" Ich soll beweisen "

Und jetzt kommt eine KONKRETE Gleichung. Genau erinnere ich mich nicht mehr; sagen wir

f  (  x  )  :=  1 / 4 711 x ³ + 4 712 x ² - 4 710 x + 123 456   (  3.1  )

" Ich soll beweisen, dass die  drei Punkte

(  x  |  y  )  (  min  )  ;  (  x  |  y  )  (  max  )  ;  (  x  |  y  )  (  w  )     (  3.1  )

auf einer Geraden liegen.

WIE zeigt man sowas?  "

Versuchen wir doch einmal, Mathematik bzw. Analysis durch Psychologie zu ersetzen. Wenn ich diesen Aufgabentext lese, kann ich doch nicht umhin zu glauben: Da gibt es Lehrer. Und die halten für Denkbar, dass es da eine ganz spezielle Funktion gibt - WEIL DAS SO IM LÖSUNGSBUCH STEHT .

( ===> Umberto Ecos neues Mittelalter; ich zitiere Autoritäten, statt mich ===> meines eigenen Verstandes zu bedienen. ) Und von der Funktion tu ich die erste und zweite Ableitung bilden.

Tjaa; wie beweist man das?  Meine Antwort

" Diese Aufgabe verfehlt ihren Zweck, weil eure Lehrer selber sie nicht begriffen haben. Sonst gäbe es diese Aufgabe nämlich gar nicht.

Was eure Lehrer nicht wissen und was auch im Internet so nicht drin steht. Jedes kubische Polynom verläuft Punkt symmetrisch gegen seinen WP . Das Maximum sei der Urpunkt; dann ist das Minimum der Bildpunkt dieser Spiegelung.

Und zwar bei ALLEN Kurven 3. Grades.

Und? Warum liegen stets Urpunkt, Bildpunkt und Symmetriezentrum auf einer Geraden? "

Aber ich bin ja der sprichwörtliche " Rufer in der Wüste "

( Fast ) alle wollen es besser wissen.

Warste schon emaa in Frankfott Sachsehause geweese? Uffn Affedorplartz?

weil mir Frankfotter hawwe da en Witz. Der Frankfotter Witz trifft meist voll ins Schwatze.

In Urwald sitzt e klaa Äffsche uff die Palm. Unn von alle Seite kimmt konzentrisch e Riiise Feuerwalz uff des arme Äffsche auf zu. Wie soll sisch des klaa Äffsche in Sischerheit bringe?

Antwott:  Ei woher solls dann des klaa Äffsche wisse, wanns de große Aff net weiß?

Das genau ist die Situation, betreffend diese Polynome ...

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Lieber Alfons Godzilla, ernsthaft, schreib doch mal ein Mathebuch; einen Mix über höhere Mathe und dein

weit über den Tellerrand gehendes Wissen. Vielleicht eine Verbindung zwischen beiden Themen, gewürzt

mit didaktischen Elementen? ( Ich gehe davon aus, dass du ein PhysikProf bist).

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Du kennst mich sicher noch von Cosmic - scheint so, dass die mich per ICP gesperrt haben.  Physiker bin ich schon, habs aber nur bis zur promotionn geschafft. Okay?

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"scheint so, dass die mich per ICP gesperrt haben"

Dafür gab es bestimmt gute Gründe....

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Die letzten beiden Kommentare von Mitglied godzilla wurden entfernt aufgrund sexueller Inhalte. Sie hatten außerdem trotz enormer Länge nichts mit der Mathefrage zu tun.