Stetigkeit g(x)= 1-x2/1+x, falls x ungleich -1 und 1,falls x=-1

Question

ich brauche Hilfe bei der Beantwortung folgender Frage. Die Lösung habe ich, jedoch verstehe ich sie nicht. Eine kurze Erklärung/Begründung ist mir daher sehr wichtig.

Um folgende Aufgabe geht es:

man definiert nun g: ℝ→ℝ

                       

g(x):=           $$\frac { 1-x² }{ 1+x }$$    falls x≠-1

1  falls x=-1

Ist die Funktion stetig in xo=-1 ?

Ich hoffe die Frage ist verständlich dargestellt. Vielen Dank für Hilfe!

Answer 1

Wende auf den Zähler die dritte Binomische Formel an. Dann kannst Du den Faktor $1 + x$ kürzen und den Grenzübergang machen.

Comments

Vielen Dank für die Antwort.

Für die Bestimmung des Grenzwerts habe ich die binomische Formel angewendet.

Dann komme ich genau auf den Grenzwert "2".

Wie aber bestimme ich hier die Stetigkeit?

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Hier ist die vollständige Aufgabe dazu.

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Eine Funktion genau dann stetig an einer Stelle \(x_0), wenn dort ihr Grenzwert mit ihrem Funktionswert übereinstimmt.

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Wenn $g(t)$ stetig wäre muss der Grenzwert $2$ sein, so wie Du das berechnet hast. Der Grenzwert ist aber laut Aufgabe 1, also ist $g(t)$ nicht stetig in $t = -1$. Formal solltest Du das mit dem $\epsilon - \delta$ Kriterium beweisen. Wähle z.B. $\epsilon = \frac{1}{2}$ dann sollte in jeder $\delta$ Umgebung von $t = -1$ gelten $|f(t) -f(-1) | < \epsilon$ falls $| t+1 | < \delta$ ist. Das gilt aber sicher nicht, da die Funktion ja einen Sprung von $1$ in der Nähe von $t = -1$ macht. Wähle also einen Wert $t$ aus der $\delta$ Umgebung von $t = -1$ , s.d. $|f(t) -f(-1) | > \epsilon$ gilt.

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@ullim: Eigentlich ist es genau umgekehrt und so, wie die Aufgabe aufgebaut ist, muss man wohl eher nicht mit dem ε-δ-Kriterium arbeiten.

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Du hast Recht, ich hab das falsch formuliert.. Ich glaube das liegt an den Temperaturen. Ich mach erst wieder weiter, wenns kühler ist. Aber Danke für die Korrektur.

Answer 2

a.)
lim x −> -1  [ ( 1 - x² ) / ( 1 + x ) ]
lim x −> -1  [ ( ( 1 - x ) * ( 1 + x ) ) / ( 1 + x ) ]
lim x −> -1  [ 1 - x ] = 2

b.)
für g ( x ) kann ich keine Stetigkeit bei x0 = -1 erkennen

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f₁(x) =  (1-x²)/(1+x)P(-1|1)