Stetigkeit mit Folgenkriterium überprüfen: f(x)={x^2+2x+1 falls − 1 ≤ x ≤ 0;1 − x sonst

Question

Schönen Abend an alle!

Wir haben diese Woche im Tutorium die Übungsklausur in Analysis besprochen, jedoch konnte ich aus krankheitsbedingten Gründen daran nicht teilnehmen.

Jetzt versuche ich eine Aufgabe zu verstehen/zu lösen, jedoch komme ich nicht weiter, deswegen hoffe ich, dass mir eine/r weiterhelfen kann!

Entscheiden Sie mit Hilfe des Folgenkriteriums, in welchen Punkten die
folgenden Funktionen f:R → R stetig sind.

a)f(x)={x2+2x+1 falls − 1 ≤ x ≤ 0;1 − x sonst

b)f(x)={x falls x ∈ Q;1 − x sonst.

Ich bedanke mich schon einmal im Voraus!

Answer 1

zu a)

bzgl. der Stetigkeit von f  sind nur die "Nahtstellen"  x = -1  und  x =  0  fraglich

Man betrachtet jeweils eine beliebige Folge (x_n)  die gegen die Nahtstelle konvergiert, und prüft, ob die zugehörige Funktionswertfolge ( f(x_n) )  gegen den Funktionswert der jeweiligen Nahtstelle konvergiert:

x=-1    lim_x→-1-  f(x_n)  = x_n² + 2x_n + 1  =  (x_n + 1)²  =  0  =  f(-1)

           lim_x→-1+  f(x_n)  =   lim_x→-1+ (- x_n )  =  1  ≠  f(-1)

           Der Grenzwert        lim_x→-1  f(x_n)  existiert also nicht  →  f nicht stetig in x=-1

x=0   analog

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zu b)   stelle dazu eine neue Frage ein  ( Schreibregeln )

Gruß Wolfgang

Comments

Korrekte Lesart wäre wohl x=0 statt x=0,1.

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Stimmt, danke für den Hinweis. Habe den Lesefehler korrigiert

Answer 2

zu b) die Folge ist in allen Stellen unstetig,

weil die rationalen/irrationalen Zahlen dicht in R liegen.

Nachtrag: die Funktion ist in x=1/2 stetig !

Comments

Hättest du es wie W. gemacht und diesen Teil nicht beantwortet, dann hättest auch du keinen Fehler gemacht.

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Na immerhin habe ich es probiert ;).

Und dabei verlesen, hab gedacht da steht 1+x rechts. Aber da steht 1-x. Daher ist die Funktion in x=1/2 stetig. Stimmt das ?

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Für (x_n) →  a  konvergiert die Funktionswertfolge ( f(x_n) ) genau dann gegen f(a), wenn

die Teilfolgen ( f(x_m) )_xm∈ℚ  und   ( f(x_k) )_xk∉ℚ  beide gegen f(a) konvergieren.

Das ist genau für  a = 1-a , also für a = 1/2 der Fall.

Die Funktion ist also genau für a = 1/2 stetig.