Vektorgeometrie: Basis von V2 bestimmen

Question

Bei den folgenden zwei Aufgaben soll ich die Basis (a→;b→) von V₂, bzw. (a→;b→;c→) von V₃ bestimmen, so dass gilt:

(4 4) = (4/3)a→ + (2/3)b→

und

(-4 2 10) = 5a→ - (1/2)b→ + 2c→

Kann ich hier für eine Vektor eine beliebige Zahl einsetzen und entsprechend die anderen Vektoren berechnen oder gibt es einen genaueren Lösungsweg?

Zur Schreibweise: die Pfeile bei den Vektoren setzte ich rechts von den Buchstaben, da ich nicht weiss wie ich sie oberhalb der Buchstaben schreiben kann.

Bei den beiden Aufgaben sollten die Zahlen links des Gleichheitszeichens eigentlich untereinander stehen.

Comments

Wenn dort steht du sollst die Basis bestimmen ist ja eine spezielle gemeint.

(4 4) = (4/3)a→ + (2/3)b→

Sind hier nicht z.B. folgende Vekotenen eine Basis?

a = [3, 0] ∧ b = [0, 6]

oder aber auch

a = [0, 3] ∧ b = [6, 0]

Aber da wir hier eigentlich nur 2 Bedingungen und 4 Unbekannte haben, ist das Gleichungssystem unterbestimmt. D.h. es gibt unendlich viele Lösungen. Und daher frage ich mich ob es eventuell anders gemeint ist.

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Diese Überlegungen habe ich mir auch gemacht.  Aber da ich keine weiteren Angaben habe, gibt es anscheinend wirklich unendlich viele Lösungen.

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Was steht denn in der Aufgabe?

"Bestimmen Sie DIE Basis" oder "Bestimmen Sie EINE Basis"?

Meiner Meinung nach sollte dort EINE stehen. aber eventuell soll dir Basis auch mit einer Unbekannten in abhängigkeit angegeben werden.

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Es steht: bestimme die Basis

Daher dachte ich auch, dass es einen Lösungsweg für eine bestimmte Lösung gibt.

Answer 1

(4 4) = (4/3)a→ + (2/3)b→

Da gibt es mehrere Lösungen, eine wäre

$$ \vec{ a }=\begin{pmatrix} 3\\0 \end{pmatrix} $$

und $$ \vec{ b }=\begin{pmatrix} 0\\6 \end{pmatrix} $$

(-4 2 10) = 5a→ - (1/2)b→ + 2c→

auch hier gibt es mehrere, eine einfache wäre

$$ \vec{ a }=\begin{pmatrix} 0\\0\\2 \end{pmatrix} \vec{ b }=\begin{pmatrix} 0\\-4\\0 \end{pmatrix} \vec{ c }=\begin{pmatrix} -2\\0\\0 \end{pmatrix} $$