Potenzreihendarstellung von Funktionen mit dem Entwicklungspunkt z berechnen

Question

Ich habe folgende Funktionen gegeben und soll nun ihre Potenzreihendarstellung mit dem Entwicklungspunkt z berechnen:

$$\begin{array} { l } { \sinh : \mathbb { C } \rightarrow \mathbb { C } \text { mit } z _ { 0 } = 0 } \\ { f : \mathbb { C } \rightarrow \mathbb { C } , z \mapsto \exp ( 2 z + 1 ) \text { mit } z _ { 0 } = 1 } \\ { f : \mathbb { C } \backslash \left\{ z : - z ^ { 2 } - ( 1 + 2 i ) z + 1 - i = 0 \right\} \rightarrow \mathbb { C } , z \mapsto \frac { ( 2 - i ) z + 3 + 3 i } { - z ^ { 2 } - ( 1 + 2 i ) z + 1 - i } \text { mit } z _ { 0 } = 0 } \end{array}$$

Bei der ersten und der zweiten setze ich doch einfach die Reihendarstellung von der normalen e Funktion ein, doch bei der letzten weiß ich einfach nicht weiter. Ideen wären, diese irgndwie zu zerlegen und dann auf altbekannte Reihen abzuführen, doch wie soll ich diese zerlegen , etwa durch Partialbruchzerlegung? Wie würde so etwas denn aussehen und würde es mir auch nutzen.

Answer 1

Da du selbst gesagt hast, dass die ersten beiden Teilaufgaben kein Problem darstellen, widme ich mich mal der letzten.

$$f(z) = \frac{(2-i) z + 3 + 3i}{-z^2 - (1+2i)z + 1-i}$$

An sich könntest du die Entwicklung natürlich einfach durch eine Taylorentwicklung vornehmen, also die Ableitungen f⁽ⁿ⁾(z) der Funktion bestimmen und die Funktion gemäß

$$f(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(z)}{n!} z^n$$

darstellen, allerdings ist das nicht so praktisch - es ist eher schwer, die n-te Ableitung einer Funktion für beliebiges n auszurechnen.

Stattdessen verwendest du, die folgende Reihe:

$$\sum_{k=0}^n z^k = \frac{1-z^{k+1}}{1-z},$$

deren Wert man leicht mittels vollständiger Induktion beweisen kann. Für |z|<1 gilt nun

$$\lim_{k\rightarrow \infty} z^{k+1} = 0$$

sodass für den Grenzwert der Reihe

$$\sum_{k=0}^\infty z^k = \frac{1}{1-z}$$

folgt. Nun kann man die gegebene gebrochenrationale Funktion f in ihre Partialbrüche zerlegen und dann jeweils die genannte Formel anwenden.

Finden wir also zunächst die Polstellen von f bzw. die Nullstellen des Nenners.

$$0 = -z^2 - (1+2i) + 1-i$$

$$0 = z^2 + (1+2i)z - 1+i$$

$$z_{1/2}= -\frac{1+2i}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{1+2i}{2}\right)^2 + 1-i}\\ \ \ \ \ \ \ = -\frac{1+2i}{2} \pm \sqrt{\frac{1 + 4i - 4 + 4 - 4i}{4}}\\ \ \ \ \ \ \ = -i - \frac{1\pm 1}{2}$$

oder mit anderen Worten:

$$z_1 = -i \\ z_2 = -1-i$$

Die Funktion lässt sich also folgendermaßen schreiben:

$$\frac{(2-i) z + 3 + 3i}{-z^2 - (1+2i)z + 1-i}=\frac{A}{z+i} + \frac{B}{z+1+i}$$

wobei die Koeffizienten A und B noch zu bestimmen sind. Multipliziert man die gesamte Gleichung mit dem Nenner durch, so erhält man

$$(2-i)z + 3 + 3i = -A*(z+1+i) - B*(z+i) \\ (2-i)z + 3 + 3i = -(A+B) z - A(1+i)-Bi$$

Damit die Gleichung in allen vorkommenden Potenzen von z korrekt ist, muss also

$$-2+i = A+B \\ -3-3i = A(1+i) + Bi$$ gelten.

Nimmt man die erste Gleichung mit (1+i) mal und subtrahiert die zweite Gleichung, dann findet man

$$(1+i)*(-2+i) +3 + 3i = (1+i)B -iB$$

oder

$$-2 - 2i +i - 1 + 3 + 3i = B \\ B = 2i$$

Damit findet man $$A = -2-i$$, sodass insgesamt gilt

$$f(z) = \frac{-2-i}{z+i} + \frac{2i}{z+1+i}$$

Nun müssen die Nenner in die Form umgewandelt werden, in der die Reihendarstellung verwendet werden kann:

$$\frac{1}{z+i} = \frac{1}{i} \frac{1}{1-iz} = -i \sum_{k=0}^\infty (iz)^k \\ \frac{1}{1+i+z} = \frac{1}{1+i} \frac{1}{1- \frac{-z}{1+i}} = \frac{1}{1+i} \sum_{k=0}^\infty \left(\frac{-z}{1+i}\right)^n$$

Setzt man das oben ein und verwendet noch $$(1+i)^{-1} = \frac{1-i}{2}$$, dann findet man insgesamt

$$f(z) = \sum_{n=0}^\infty \left(-\left(\frac{-1+i}{2}\right)^{-1+n}-(1-2i) i^n \right) z^n$$

Comments

Vielen Dank für die sehr ausführliche Ausführung! DANKE DANKE DANKE! Jetzt kann ich auch die anderen ähnlichen Aufgaben ohne Probleme lösen!

Answer 2

Bei der ersten und der zweiten setze ich doch einfach die Reihendarstellung von der normalen e Funktion ein, doch bei der letzten weiß ich einfach nicht weiter.

Bei der ersten OK, aber bei der zweiten sollst du doch den Entwicklungspunkt 1 nehmen.

Das gibt dann eine Reihe mit  ( z-1)ⁿ

und die Ableitung von exp(2z+1) ist wegen Kettenregel  2*exp(2z+1).

und entsprechend  f ' ' (z) dann   2² *exp(2z+1).

Dann ist die Potenzreihe wohl

f(z) = exp(3) + 2*exp(3)*(z-1) + 4*exp(3)*(z-1)² / 2! + 8*exp(3) *(z-1)³ / 3! + ....

Comments

Kann man das denn n icht auch kompakter schreiben als:

f(z)=summe (k=0 gegen unendlich) (e^32^n)/(n!)*(x-1)^n

Answer 3

Die letzte Aufgabe ist ein Klassiker. Du schreibst mittels Partialbruchzerlegung $f(z)={A\over z-z_1}+{B\over z-z_2}$, wobei $z_1$, $z_2$ die beiden Nullstellen des Nenners sind. Dann werden die Partialbrueche mit der geometrischen Reihe entwickelt und zusammengefasst. Ist 'ne einfache Rechenaufgabe, die man regelmaessig in Klausuren findet, und die man deshalb draufhaben sollte.