Es existiert kein Skalarprodukt Beweis

Question

Ich habe da ein kleines Problem.

Unszwar weiß ich nicht wie ich an folgende Aufgabe rangehen soll:

  Für \( 1<p<\infty \) mit \( p \neq 2 \) sei \( \|\cdot\|_{p} \) die durch
$$ \left\|\left(x_{1}, x_{2}\right)\right\|_{p}:=\left(\left|x_{1}\right|^{p}+\left|x_{2}\right|^{p}\right)^{1 / p} $$
gegebene Norm auf \( \mathbb{R}^{2} . \) Zeigen Sie, dass es kein Skalarprodukt auf \( \mathbb{R}^{2} \) gibt, so dass \( \|\cdot\|_{p} \) die induzierte Norm ist.

Hier müsste ich doch zeigen, dass irgendeine Eigenschaft des Skalarproduktes nicht erfüllt wird auf dieser Norm oder nicht? Oder lieg ich da falsch?

Das ist bis jetzt mein einziger Ansatz und ich weiß nicht einmal wie ich das zeigen soll bzw. für welche Eigenschaft, falls mein Ansatz richtig ist.

Über Hilfestellungen würde ich mich freuen.

Liebe Grüße :)

Answer 1

Nach dem Satz von Jordan-Neumann gilt für jede von einem Skalarprodukt induzierte Norm die sogenannte Parallelogrammgleichung

$$||x+y||^2 + ||x-y||^2 = 2(||x||^2 + ||y||^2)$$

Der Beweis lässt sich recht leicht mit Hilfe der Linearität des Skalarprodukts führen.

Teste das nun für die p-Norm, für ein nichttriviales Beispiel: x=(1,0), y=(0,1):

$$\sqrt[p]{1^p+1^p}^2 + \sqrt[p]{1^p+1^p}^2 = 2(\sqrt[p]{1^p+0^p}^2+ \sqrt[p]{0^p+1^p}^2) \\ \sqrt[p]{2^2}+\sqrt[p]{2^2}= 2(1+1)\\ 2 \sqrt[p]{4} = 4\\ \sqrt[p]{4} = 2 \\ 4 = 2^p$$

Das ist offensichtlich für $$p\neq 2$$ eine falsche Aussage, damit ist die allgemeine p-Norm nicht durch ein Skalarprodukt induziert.

Nun zeigen wir noch die Parallelogrammgleichung für von Skalarprodukten induzierte Normen $$|| . || = \sqrt{<.,.>}$$.

$$||x+y||^2 + ||x-y||^2 = <x+y, x+y> + <x-y, x-y> \\ = <x,x>+<x,y>+<y,x>+<y,y>+<x,x>-<x,y>-<y,x>+<y,y> \\ = 2<x,x> + 2 <y,y>\\ = 2(||x||^2 +||y||^2)$$, q.e.d.

Answer 2

wenn du ein Skalarprodukt für IR^2 hast,  kannst du ja immer das Skalarprodukt ein

Vektors mit sich selbst bilden, und aus dem Ergebnis die Wurzel ziehen.

Das geht immer, weil ein SP ja pos. definit ist.

Auf diese Weise kannst du für jedes Skalarprodukt die dadurch induzierte Norm

definieren.   Wenn du das Standardskalarprodukt nimmst, erhältst du auf diese

Weise die angegebene Norm für p=2.

Hier ist es nun anders herum. Eine Norm ist gegeben und es ist zu zeigen, das

diese für p ungleich 2 nicht von irgendeinem Skalarprod. induziert ist.