HURRAAAAH !!!! Endlich mal eine vernünftige Einsicht. Das Verfahren ist urkundlich von ===> Rothstein-Trager angegeben; die Arbeit steht online ( Vermutlich wirst du eben so wenig damit anfangen können wie ich. )
Ich verstehe nur das Zuhälterkapitel, weil ich das Verfahren unabhäng ( allerdings mit zehnjähriger Verspätung und noch dazu wesentlich mehr als Rothstein-Trager ) entwickelt habe.
Ihr könnt doch Deutsch; ihr sagt immer " Hochpunkt " statt Maximum. Ich sage nicht Partial-sondern Teilbruchzerlegung ( TZ )
Der Grundgedanke beruht auf der komplexen ===> Residuenintegration der ===> Funktionenteorie ( FT ) D.h du müsstest dir die ganze FT komplott rein ziehen ( Knoppbändchen, Mc. Laughlin bei Wiley oder Eli Cartan - die Auswahl ist riesig; auch Wiki bietet Vieles, ich selbst fand da schon Einiges. Ansonsten frag halt nochmal. )
Jetzt ist eine Integrabilitätsbedingung ganz entscheidend, der ===> Cauchysche Integralsatz ( CIS ) Kennst du ja von konservativen Vektorfeldern. Schau dir bitte auch die ===> Cauchysche Integralformel ( CIF ) an, deren Bedeutung in den Standardtexten sträflich unterschätzt wird.
Sei w = w ( z ) eine auf dem Gebiet G ( z.B. Innengebiet eines Kreises ) ===> analytische ( holomorphe ) Funktion. Die Funktion w will ich als Integralkern bezeichnen. Jetzt bilden wir die Funktion
F ( z ; z0 ) := ( 1 / 2 Pi i ) w ( z ) / ( z - z0 ) ( 1 )
F besitzt einen einfachen Pol in z0 ; als Residuum von F ( genauer: Residuum in z0 ) ist das Integral definiert
Res F | z0 = $ F ( z ) dz = w ( z0 ) ( 2 )
Integriert wird wie üblich über die Berandung des Kreises von 0 bis 2 Pi . Die genaue Definition dieses Integrals findest du wie gesagt in allen Textbüchern.
Natürlich verschwindet dieses Residuum, so bald sich die Singularität z0 außerhalb des Kreises befindet - auf Grund des CIS .
Und die gängigen Texte scheinen alle keinen Vorteil aus der Kenntnis dieses Residuums zu ziehen; die Cauchysche Integralformel hast du in ( 2 ) In worten besagt sie
" Das Residuum ist gleich dem Wert des Integralkerns an der Polstelle. "
Und Witzbolde bezeichnen diese doch recht Grund legende Aussage auf einmal als " Zuhälterverfahren " Auf diese Weise sind ja auch das schwarze Loch und das Bottom Quark zu ihren Namen gekommen, die eben Falls eine pornografische Konnotation haben. An sich würde ich das Einsetzen einer Variablen in eine Funktion weder als Zuhälter-noch als Zuhaltetechnik bezeichnen; das ist völlig unüblich. Gemeint ist in ( 2 ) : Du setzt den Wert z0 in den Integranden ( 1 ) ein, hältst aber gleichzeitig in ( 1 ) mit der Hand alles " zu, was singulär bzw. Sinn los " wird ( In den von mir entwickelten Verallgemeinerungen des Zuhälterverfahrens, die den Weg in die Literatur bis Dato noch nicht gefunden haben, kommst du übrigens mit Zuhalten auf keinen grünen Zweig mehr. )
Spielen wir das doch mal mit deinem Ansatz durch.
( x + 2 ) / ( x + 1 ) ( x - 1 ) ( x - 2 ) = ( 3a )
= A / ( x + 1 ) + B / ( x - 1 ) + C / ( x - 2 ) ( 3b )
Diesen Ansatz werden wir separieren, quasi ortogonalisieren. Mit dieser Gleichung darf ich doch alles machen voraus gesetzt, dass ich links und rechts, also in ( 3a ) und ( 3b ) , das Selbe mache, z.B. auch integrieren. Integriert wird dabei um einen Kreis, dessen Mittelpunkt sei z2 = 1 ; ich muss halt nur Acht passen, dass ich den Radius R = € < 1 hallte, um sämtliche anderen Pole aus dem Kreis auszusperren.
Ja was haben wir dann in ( 3b ) ? Die Terme A und C leisten keinen Beitrag, weil nach dem CIS ( für ganz vornehme Leute: ===> Residuensatz ) diese Pole ja außerhalb liegen.
Integralkern des B-Terms ist offenbar die ( konstante ) Funktion B ; das LGS wurde Erfolg reich separiert. Wir berechnen jetzt offenbar den Koeffizienten B .
Für den Integralkern führe ich den Buchstaben G ein; Integralkern der gebrochenen Funktion ( 3a ) ist offenbar
G ( x ; 1 ) = ( x + 2 ) / ( x + 1 ) ( x - 2 ) ( 4a )
Die Variable hinter dem Semikolon vertritt die Polstelle; wir haben drei Polstellen, mithin auch drei Kerne. Wenn du so willst, entstand ( 4a ) durch " Zuhalten " Aus der CIF ergibt sich somit die Zuhälterformel
B = G ( 1 ; 1 ) = ( 1 + 2 ) / ( 1 + 1 ) ( 1 - 2 ) = ( - 3/2 ) ( 4b )
Seit etwa 2008 propagiere ich im Netz diesen Algoritmus, was wohl bisher daran scheiterte, dass Schüler Angst vor ihren Lehrern hatten, die das Zuhälterverfahren ja nicht kannten.
