Für welche Werte von x konvergiert die Reihe? a_(n) = ((x/(1-x))n

Question

Wie gehe ich bei so einer Aufgabe vor? Finde leider keinen Ansatz

Comments

Meinst du die Folge $\{a_n\}$ oder die Reihe $\sum a_n$ ?

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die Aufgabe ist so vom Professor gestellt, also die Reihe :/

Answer 1

Setzte mal $z = \frac{x}{1-x}$ und berechne für $z > 1$, z.B. $z = 2$ den Ausdruck $z^{10}$. Und das Gleiche für $z \le 1$ z.B. $z = \frac{1}{2}$ Welche Ungleichung kann man daraus ableiten für $z$? Und dann das ganze nach $x$ auflösen.

Comments

hmmm die gleichung schwankt? je nachdem wie groß n ist (also gerade oder ungerade) ist z > 1 oder z < 1 erfüllt... :/

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Naja, $2^{10} = 1024$ und $\left( \frac{1}{2} \right)^{10} = \frac{1}{1024}$ Was sieht ma daran?

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wenn z > 1 gehts gegen unendlich und wenn z < 1 gehts gegen 0

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Und was ist mit $z = 1$? Dann aber die Ungleichung nach $x$ auflösen.

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bei z = 1 bleibts bei 1

wie stelle ich die Ungleichung auf? oder stelle ich zwei auf einmal für 1 und einmal für -1 und löse dann nach x auf?

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Bevor wir weiter machen, muss die von Gast gestellte Frage geklärt sein. Geht es um die Konvergenz von $a_n$ oder um die Konvergenz von $\sum_{n=1}^\infty a_n$ Bei letzterem schau Dir doch mal eine geometrische Reihe an

https://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe

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achso also ich guck als erstes was x eben nicht sein darf (hier 1)

also muss x < 1 oder größer als -1 sein...

dann hab ich zwei ungleichungen:

x/(1-x) < 1  und x/(1-x) > -1

wenn ich das jetzt nach x auflöse, komme ich auf

x < 1/2 und 0 > -1

aber was sagt mir das?

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Hi,
betrachtet man zunächst die Folge $a_n(x) = \left( \frac{x}{1-x} \right)^n$ konvergiert diese nur wenn gilt $|a_n(x)| \le 1$ und dies gilt nur für $x \le \frac{1}{2}$
Betrachtet man die Reihe $\sum_{n=0}^\infty a_n(x)$ konvergiert diese als geometrische Reihe nur für $\left| \frac{x}{1-x} \right| < 1$ also für $x < \frac{1}{2}$, siehe den angegebenen Link.