Untersuchen Sie, für welche Werte x ∈ R die Reihe konvergiert. ∑(n+1)/(n(n-1))x^n

Question

Untersuchen Sie, für welche Werte \( x \in \mathbb{R} \) die Reihe

$$ \sum \limits_{n=2}^{\infty} \frac{n+1}{n(n-1)} x^{n} $$
konvergiert.

Bemerkung: Beachten Sie auch die Fälle \( x=1 \) und \( x=-1 ! \)

Muss man da einfach das Quotientenkriterum benutzen? Ich hab es gemacht und heraus kam: \( \frac{x(n+2)(n-1)}{(n+1)^{2}} \) Die Frage ist wie soll es jetzt weitergehen?

Comments

x hat nichts im Quotientenkriterum zu suchen.

Frage ist, ob du damit weiterkommst:
(n+2)(n-1) / (n+1)^2 = (n^2 + n - 2) / (n^2 + 2n + 1)

= (n^2 + 2n + 1 - n-3)/(n^2 + 2n+1)

= 1 - (n+3)/(n+1)^2

Bringt mir nun den Konvergenzradius r=1. x=±1 noch separat ansehen.

Für x=1 hast du im Prinzip eine harmonische Reihe: Du dürftest mit Majorantenkriterium zeigen können, dass die Potenzreihe in diesem Fall divergiert.

Für x=-1 hast du eine alternierende Reihe, deren Summanden betragsmässig gegen 0 gehen. Daher Konvergenz.

Answer 1

x hat nichts im Quotientenkriterum zur Bestimmung des Konvergenzradius zu suchen.

Du musst nur die nun die an ohne x durcheinander teilen. Vgl: https://de.wikipedia.org/wiki/Konvergenzradius

Fortsetzung:
(n+2)(n-1) / (n+1)^2  geht für n gegen unendlich gegen 1. Konv. radius ist daher r=1. 

= (n^2 + n - 2) / (n^2 + 2n + 1)

= (1 + 1/n -2/n^2)/(1 + 2/n+1/n^2 ) -----> Grenzwert ist 1.

Konvergenzradius r=1 .

x=±1 noch separat ansehen.

Für x=1 hast du im Prinzip eine harmonische Reihe: Du dürftest mit Majorantenkriterium zeigen können, dass die Potenzreihe in diesem Fall divergiert.

Für x=-1 hast du eine alternierende Reihe, deren Summanden betragsmässig gegen 0 gehen. Daher Konvergenz.

Konvergenzbereich B = [-1,1)