Symmetrische Matrix Aufgabe

Question

Könnt ihr mir bitte bei der Aufgabe c.) helfen?

Answer 1

det( M - x*E) = x^4-9x^3+26x^2-24x

= 0 setzen gibt Eigenwerte 0   2   3    4

zugehörige Basen der Eigenräume bilden jeweils die Vektoren

(jeweils als Spalte zu schreiben)

(-1;-2;0;1)    ,   (o;o;1;0)  ,   (-1 ; 1; 0 ; 1 )    (1; 0 ;0 ;1 )

jetzt normieren und in die Matrix schreiben

also ist die Matrix T =

-1/√6        0       -1/√3       1/√2
-2/√6        0         1/√3        0
0               1           0           0
1/√6          0          1/√3       1/√2

mit T^-1 * S * T = diag(0,2,3,4)

Comments

b) ist ja nicht so wild, da du alle Eigenwerte richtig hast :-)

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Beachte auch den Fall "positiv semi definit".

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Ich danke dir, bin grade Eigenvektoren berechnen. Gibt es zufällig eine einfachere Methode? Die Matrix ist ja 4x4 mit 4 Eigenwerte, ich versuche es jetzt mit der Gauß-Verfahren aber es dauert viel zu lange.

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Geht nur schneller, wenn man ein CAS Programm benutzt. Ansonsten ist Handarbeit gefragt. Aber in der Matrix sind ja viele Nullen, dass sollte es doch etwas leichter machen.

Answer 2

Weiss Du denn wie die Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix bestimmt werden. Ich denke ja, dann berechne die zuerst einmal, dann sehen wir weiter.

Comments

Die habe ich schon gemacht. Die Eigenwerte sind: 0, 2, 3 und 4, Eigenvektoren habe ich noch nicht berechnet. Brauche ich die Eigenvektoren für die c.) ?

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Genau, die Eigenvektoren sind die Spalten der gesuchten Transformations Matrix \( T \). Ob \( T \) richtig ist, kannst Du ja durch nachrechnen überprüfen.

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Musst die Eigenvektoren noch normieren, sonst hast du keine orthogonale Matrix.

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Ja , das ist korrekt.